Problemas de Cinemática del Punto (GITI)

2.1. Ejemplo de movimiento plano en 3D

Una partícula describe un movimiento según la ecuación horaria

${\vec {r}}(t)=4A\cos ^{2}(\omega t){\vec {\imath }}+5A\cos(\omega t)\,\mathrm {sen} (\omega t){\vec {\jmath }}-3A\cos ^{2}(\omega t){\vec {k}}$

1. Calcule la velocidad y la aceleración instantáneas de este movimiento.
2. Determine el parámetro arco como función del tiempo y escriba la ecuación de la trayectoria como función del parámetro arco.
3. Calcule el triedro de Frenet asociado a la trayectoria en cada instante, así como las componentes intrínsecas de la aceleración.
4. Halle el radio de curvatura y la posición del centro de curvatura en cada instante. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

2.2. Evolvente de una circunferencia

La evolvente de una circunferencia es la curva plana que se obtiene cuando se desenrolla un hilo tenso de un carrete circular. Suponga que se tiene una bobina de radio $A$ que se va desenrollando a ritmo constante, de forma que el punto $C$ donde el hilo deja de hacer contacto con el carrete forma un ángulo $\theta =\omega t$ con el eje $OX$. Una partícula material se encuentra en el punto $P$ situado en el extremo del hilo, moviéndose con este extremo a medida que el hilo se va desenrollando.

1. Determine el vector de posición de la partícula.
2. Calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
3. Determine la ley horaria $s=s(t)$.
4. Halle los vectores tangente y normal a la trayectoria.
5. Halle el radio de curvatura y el centro de curvatura.

2.3. Movimiento de partícula sujeta de un hilo

Una barra rígida $AB$ de longitud $L$ se mueve en un plano vertical $OXY$, manteniendo su extremo $A$ articulado en un punto del eje horizontal de coordenadas ${\overrightarrow {OA}}=L{\vec {\imath }}$, y verificando la ley horaria $\theta (t)=2\omega t$, con $0\leq \theta \leq \pi$ y siendo $\omega =$ cte. Un hilo inextensible de longitud $2L$ tiene uno de sus extremos conectado al origen del sistema de referencia (punto $O$), mientras que del otro cuelga una partícula $P$ que mantiene al hilo siempre tenso. El hilo se apoya sobre una pequeña polea de radio despreciable situada en el extremo $B$ de la barra, de forma que el tramo ${\overline {BP}}$ permanece siempre paralelo al eje $OY$ (ver figura). Se pide:

1. Ecuaciones horarias del punto $P$, ${\overrightarrow {OP}}={\vec {r}}(t)=x(t){\vec {\imath }}+y(t){\vec {\jmath }}$.
2. Instante del tiempo $t_{M}$ en que la partícula alcanza su altura máxima.
3. Radio de curvatura de la trayectoria seguida por $P$, en el instante considerado en el apartado anterior.

2.4. Ejemplo de movimiento rectilíneo

Una partícula efectúa un movimiento rectilíneo tal que si $x(t)$ es la posición a lo largo de la recta y $v_{x}(t)$ la componente de la velocidad en dicha dirección, se cumple en todo instante

$v_{x}={\sqrt {kx}}$

1. Determine la aceleración en cada punto. ¿Qué tipo de movimiento efectúa la partícula?
2. Si en $t=0$ la partícula se encuentra en $x=x_{0}$, ¿cuál es su posición en cualquier instante posterior?

2.5. Rectilíneo con desaceleración creciente (Ex.Nov/11)

Una partícula está recorriendo el eje OX en sentido positivo con una celeridad constante de 25 m/s. En un instante dado (t=0) se detecta un obstáculo en su trayectoria a 50 m por delante de ella. A partir de dicho instante se le aplica a la partícula una desaceleración creciente en el tiempo según la fórmula $\,{\vec {a}}(t)=-Kt\,{\vec {\imath }}\,\,$, donde $K\,$ es una constante de valor igual a 8.00 m/s$^{3}$. ¿Cuánto tiempo tardará en detenerse la partícula? ¿A qué distancia del obstáculo se detendrá?

2.6. Tiro parabólico

Supóngase el movimiento de un proyectil que se caracteriza por poseer una aceleración constante

${\vec {a}}(t)=-g{\vec {k}}$

una posición inicial nula (${\vec {r}}_{0}={\vec {0}}$) y una velocidad inicial que forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal y tiene rapidez inicial $v_{0}$.

1. Determine el vector de posición, la velocidad y la aceleración en cada instante.
2. Calcule la celeridad y el vector tangente en el instante en el cual el proyectil se encuentra a máxima altura.
3. Halle la aceleración tangencial y la aceleración normal, así como el vector unitario normal, en el mismo instante del apartado anterior.
4. Calcule el radio de curvatura y el centro de curvatura en el punto más alto de la trayectoria.

2.7. Movimiento circular en torno a un eje oblicuo

Una partícula gira alrededor de un eje que pasa por el origen de coordenadas y está orientado según la dirección y el sentido del vector ${\vec {c}}={\vec {\imath }}+2{\vec {\jmath }}+2{\vec {k}}$. La aceleración angular de este movimiento es constante y de módulo 1 rad/s². La velocidad angular inicial es nula. Si en $t=2\,\mathrm {s}$ la partícula se encuentra en ${\vec {r}}=(-{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+4{\vec {k}})\,\mathrm {m}$ calcule, para este instante

1. La velocidad y la aceleración.
2. Las componentes intrínsecas de la aceleración.

2.8. Ejemplo de movimiento helicoidal

Una partícula se mueve a lo largo de la hélice descrita por la ecuación paramétrica

${\vec {r}}(\theta )=A\cos(\theta ){\vec {\imath }}+A\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}+{\frac {b\theta }{2\pi }}{\vec {k}}$

donde $A$ y $b$ son constantes conocidas. El movimiento de la partícula sigue la ley horaria

$\theta (t)=\Omega _{0}t+\beta t^{2}\,$

donde $\Omega _{0}$ y $\beta$ son constantes conocidas.

1. Determine el parámetro arco de la hélice descrita, como función del parámetro $\theta$ y del tiempo.
2. Halle la rapidez del movimiento.
3. Calcule la componente tangencial de la aceleración de la partícula en todo instante.
4. Para el instante $t=0$ calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
5. Para el mismo instante, halle los vectores del triedro de Frenet, así como el radio de curvatura de la partícula y su aceleración normal.

2.9. Movimiento descrito en coordenadas polares

En un plano descrito mediante coordenadas polares, se mueve una partícula conforme a las ecuaciones horarias

$\rho (t)=A\cos(\omega t)\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\theta (t)=\omega t\,$

donde $A$ y $\omega$ son constantes conocidas.

1. Calcule la rapidez del movimiento.
2. Halle el vector aceleración y sus componentes intrínsecas.
3. Determine los vectores tangente y normal a la trayectoria en cada instante.
4. Calcule el radio de curvatura.

2.10. Movimiento en espiral descrito en polares (Ex.Nov/11)

Una partícula recorre una espiral logarítmica, estando su posición en cada instante de tiempo descrita en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:

$\rho (t)=\rho _{0}e^{-\omega t}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\theta (t)=\omega t\,$

donde $\rho _{0}\,$ y $\omega \,$ son constantes conocidas.

1. Calcule el vector velocidad y la rapidez del movimiento.
2. Halle el vector aceleración y sus componentes intrínsecas.
3. Calcule el radio de curvatura.

No Boletín - Aceleración a partir de ley horaria y radio de curvatura (Ex.Oct/14)

Una partícula recorre cierta curva parametrizada naturalmente, conociéndose la ley horaria y el valor del radio de curvatura (que es constante):

$s(t)=A\,\mathrm {ln} \left({\frac {t}{t_{0}}}\right)\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,R_{\kappa }(t)=A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(} A\,\,\mathrm {y} \,\,t_{0}\,\,\,\mathrm {son} \,\,\mathrm {constantes} \,\,\mathrm {positivas} \,\,\mathrm {dadas)}$

1. ¿Cuánto vale el módulo de su aceleración?
2. Los datos conocidos permiten saber con certeza que este movimiento es... (Nota: Sólo una opción es correcta)

$\mathrm {(A)} \,\,\mathrm {...retardado.} \,\,\,\,\,\mathrm {(B)} \,\,\mathrm {...circular.} \,\,\,\,\,\mathrm {(C)} \,\,\mathrm {...uniforme.} \,\,\,\,\,\mathrm {(D)} \,\,\mathrm {...helicoidal.}$

No Boletín - Adelantamiento entre vehículos (Ex.Nov/11)

Dos vehículos (A y B) avanzan por una misma carretera con celeridades variables en el tiempo pero tales que en todo instante se cumple que $\,v_{B}(t)=2\,v_{A}(t)$. El vehículo lento (A) va inicialmente por delante porque partió de un punto más adelantado. En cierto instante, y justo en una curva, el vehículo rápido (B) da alcance al lento (A). ¿Cuáles son las relaciones entre las respectivas aceleraciones tangenciales y entre las respectivas aceleraciones normales de ambos vehículos en el preciso instante del adelantamiento? ¿Son dichas relaciones necesariamente ciertas también para todo instante anterior o posterior al adelantamiento?

No Boletín - Anilla ensartada en dos varillas (Ex.Nov/10)

Una pequeña anilla $P$ se encuentra ensartada en la intersección de dos barras giratorias. Los extremos fijos de las barras distan una cantidad $L$ y giran en el mismo sentido con la misma velocidad angular de módulo constante $\Omega$ de forma que describen los ángulos indicados en la figura:

1. ¿Cuáles son las ecuaciones horarias de $P$?
2. ¿Qué clase de trayectoria describe?
3. ¿Qué tipo de movimiento realiza?

No Boletín - Bólido con m.c.u. (Ex.Nov/12)

La gravedad media en la superficie terrestre (g = 9.80665 m/s$^{2}$) es utilizada a veces como unidad de aceleración. Sea un bólido que recorre con celeridad constante un circuito circular de diámetro igual a 1500 yardas (1 yd = 0.9144 m) y que tarda exactamente 1 minuto en completar cada vuelta. ¿Cuánto vale la aceleración (en módulo) de dicho bólido expresada en la unidad g?

No Boletín - Celeridad media (Ex.Oct/18)

Una partícula, que se mueve a lo largo del eje $OX\,$, tiene en el instante inicial $(t=0)\,$ una velocidad ${\vec {v}}(0)=v_{0}\,{\vec {\imath }}\,$ (donde $v_{0}>0\,$) y sufre una desaceleración creciente en el tiempo, dada por la función ${\vec {a}}(t)=-Ct\,{\vec {\imath }}\,$ (donde $C={\mbox{cte}}>0\,$), hasta que finalmente se detiene.

¿Cuál es la celeridad media de la partícula en el intervalo de tiempo transcurrido entre el instante inicial y el instante en el que se detiene?

No Boletín - Celeridad media a partir de celeridad instantánea (Ex.Nov/12)

Un punto material recorre cierta trayectoria con una celeridad que varía en el tiempo según la fórmula:

$v(t)={\frac {K}{t^{3}}}\;\;\;\;\;\mathrm {(para} \,\,t>0\mathrm {)}$

siendo $K\,$ una constante de valor igual a $1\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}\,$

¿Cuál es la celeridad media del punto material en el intervalo de tiempo transcurrido entre $t=1\mathrm {s} \,$ y $t=3\mathrm {s} \,$?

No Boletín - Celeridad media a partir de ley horaria (Ex.Oct/13)

Un punto material recorre cierta trayectoria parametrizada naturalmente con la siguiente ley horaria:

$s(t)={\frac {K}{3T-t}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm {(para} \,\,0\leq t\leq T\mathrm {)}$

siendo $K\,$ y $T\,$ sendas constantes conocidas.

¿Cuál es la celeridad media del punto material en el intervalo de tiempo transcurrido entre $t=0\,\,\,$ y $\,\,t=T\,$?

No Boletín - Celeridad media a partir de ley horaria II (Ex.Oct/15)

Una partícula realiza un movimiento armónico simple con la siguiente ecuación horaria:

$x(t)=-A\,\mathrm {cos} (\omega t)$

donde la amplitud $\,A\,$ y la pulsación $\,\omega \,$ son constantes conocidas.

¿Cuál es la celeridad media de la partícula en el intervalo de tiempo transcurrido entre $\,t=0\,$ y $\,t=\pi /\omega \,\,$?

No Boletín - Celeridad media en viaje mixto (Ex.Jun/13)

Un automóvil realiza un viaje de 100 km que consta de una primera parte sobre una carretera asfaltada y una segunda parte sobre un carril de tierra. En la carretera asfaltada avanza con una celeridad constante de 120 km/h, mientras que en el carril de tierra lo hace con una celeridad constante de 30 km/h. Sabiendo que la celeridad media en el trayecto total es de 75 km/h, ¿cuál es la longitud recorrida sobre el carril de tierra?

No Boletín - Celeridad, aceleración tangencial y radio de curvatura (Ex.Oct/14)

En el plano OXY, una partícula $P\,$ se mueve conforme a la ecuación horaria:

${\overrightarrow {OP}}\equiv {\vec {r}}(t)=A\,\mathrm {sen} (\Omega t)\,{\vec {\imath }}\,-\,{\frac {A}{2}}\,\mathrm {cos} (2\,\Omega t)\,{\vec {\jmath }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(} A\,\mathrm {y} \,\Omega \,\,\mathrm {son} \,\,\mathrm {constantes} \,\,\mathrm {conocidas)}$

Las tres preguntas siguientes se refieren al instante $t=\displaystyle {\frac {\pi }{6\,\Omega }}\,$.

1. ¿Cuál es la celeridad de la partícula en dicho instante?
2. ¿Cuánto vale la componente tangencial de su aceleración en dicho instante?
3. ¿Cuál es el radio de curvatura de su trayectoria en dicho instante?

No Boletín - Centro de curvatura y período de un circular uniforme (Ex.Oct/15)

Desde un triedro cartesiano $\,OXYZ\,$, se observa a una partícula que realiza un movimiento circular uniforme. Periódicamente, la partícula pasa por el punto $\,O\,$ (origen de coordenadas) con los siguientes valores instantáneos de velocidad y aceleración:

${\vec {v}}=(2\,{\vec {\imath }}+8\,{\vec {\jmath }}+16\,{\vec {k}}\,)\,\,\mathrm {m} /{\mbox{s}}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}=(4\,{\vec {\imath }}+7\,{\vec {\jmath }}-4\,{\vec {k}}\,)\,\,\mathrm {m} /{\mbox{s}}^{2}$

1. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de curvatura de la trayectoria?
2. ¿Cuál es el período del movimiento?

No Boletín - Centro de curvatura y vector normal (Ex.Oct/18)

El movimiento de una partícula $P\,$ es observado desde un triedro $OXYZ\,$. Se conocen en un instante dado las posiciones de la partícula y del centro de curvatura $O_{\kappa }\,$ de su trayectoria, así como los módulos de su velocidad y su aceleración:

${\overrightarrow {OP}}=(\,3\,{\vec {\imath }}\,-\,2\,{\vec {\jmath }}\,+\,6\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} \,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\overrightarrow {OO_{\kappa }}}=(\,5\,{\vec {\imath }}\,-\,3\,{\vec {\jmath }}\,+\,8\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} \,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|{\vec {v}}|=3\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|{\vec {a}}|=5\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$

1. ¿Cuál es el vector normal del triedro intrínseco de su trayectoria en dicho instante?
2. ¿Cuánto vale (en valor absoluto) la componente tangencial de la aceleración de la partícula en dicho instante?

No Boletín - Componentes intrínsecas en un movimiento circular (Ex.Jun/13)

El ángulo $\psi \,$ que forman entre sí los vectores velocidad y aceleración de una partícula puede determinarse a partir del cociente entre las componentes intrínsecas de su aceleración:

$\mathrm {tg} (\psi )={\frac {a_{n}}{a_{t}}}$

Sea una partícula $P\,$ que recorre la circunferencia de radio $R\,$:

${\overrightarrow {OP}}\equiv {\vec {r}}(\theta )=R\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}$

¿Para cuál de las siguientes leyes horarias se mantiene constante a lo largo del tiempo el ángulo $\psi \,$ formado por la velocidad y la aceleración de la partícula? (Nota: $\omega _{0}\,$, $\alpha _{0}\,$ y $t_{0}\,$ son constantes positivas conocidas.)

1) $\theta (t)=\mathrm {sen} (\omega _{0}t)\,$

2) $\theta (t)=e^{(t/t_{0})}$

3) $\theta (t)=\mathrm {ln} \left(\displaystyle {\frac {t}{t_{0}}}\right)$

4) $\theta (t)=\displaystyle {\frac {1}{2}}\alpha _{0}t^{2}$

No Boletín - Cuestión sobre componentes intrínsecas de la aceleración (Ex.Nov/16)

Una partícula, cuya celeridad inicial es $v_{0}\,$, recorre una hélice de radio de curvatura $R_{\kappa }\,$ parametrizada naturalmente, de tal modo que se cumple la condición de que la suma de sus aceleraciones tangencial y normal es nula en todo instante de tiempo:

$a_{t}(t)+a_{n}(t)=0\,;\,\,\,\,\,\forall t$

¿Para cuál de las siguientes leyes horarias se cumple dicha condición?

(1) $s(t)=\displaystyle {\frac {R_{\kappa }\,v_{0}\,t}{R_{\kappa }+v_{0}\,t}}\,$

(2) $s(t)=R_{\kappa }\,[\,e^{(v_{0}t/R_{\kappa })}-1\,]\,$

(3) $s(t)=v_{0}\,t+\displaystyle {\frac {1}{2}}\,{\frac {v_{0}^{2}}{R_{\kappa }}}\,t^{2}\,$

(4) $s(t)=R_{\kappa }\,\mathrm {ln} \!\left(\!1+\displaystyle {\frac {v_{0}}{R_{\kappa }}}\,t\right)\,$

No Boletín - Cuestión sobre movimiento de aceleración constante (Ex.Oct/14)

Si una partícula se mueve de tal modo que su aceleración es un vector constante en el tiempo, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente cierta? (NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta).

1) La celeridad de la partícula varía linealmente con el tiempo.

2) La partícula realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

3) Es imposible que la partícula alcance un reposo instantáneo.

4) La trayectoria de la partícula es plana, aunque puede no ser recta.

No Boletín - Cuestión sobre radio de curvatura (Ex.Oct/15)

Una partícula, que se hallaba en reposo en el instante inicial ($t=0\,$), se mueve de tal modo que su aceleración tangencial y su aceleración normal son ambas constantes no nulas:

$a_{t}(t)=C_{1}\neq 0\,;\,\,\,\,\,\,\,\,a_{n}(t)=C_{2}\neq 0$

¿Cómo evoluciona el radio de curvatura de la trayectoria de esta partícula? (NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta).

(a) Es constante.

(b) Aumenta linealmente con el tiempo.

(c) Aumenta cuadráticamente con el tiempo.

(d) Aumenta cúbicamente con el tiempo.

No Boletín - Cuestión sobre velocidad y aceleración en el triedro de Frenet (Ex.Oct/13)

Para un instante dado, se representan la velocidad ${\vec {v}}\,$ y la aceleración ${\vec {a}}\,$ de una partícula en sus orientaciones relativas a algún plano del triedro de Frenet $\{{\vec {T}},{\vec {N}},{\vec {B}}\}\,$. (Nota: se utiliza $\bigodot \,$ para vectores perpendiculares al plano del papel y de sentido saliente, y $\bigotimes \,$ para vectores perpendiculares al plano del papel y de sentido entrante).

¿Cuál es el diagrama correcto si se sabe que el movimiento es uniforme no rectilíneo?

No Boletín - Descripción vectorial de un movimiento circular (Ex.Nov/16)

Desde un triedro cartesiano $OXYZ\,$, se observa el movimiento circular de una partícula $P\,$ cuyo eje de giro pasa por el origen de coordenadas $O\,$. En cierto instante, los vectores de posición, velocidad angular y aceleración angular de $P\,$ valen:

${\vec {r}}={\overrightarrow {OP}}=(-\,{\vec {\imath }}\,+\,2\,{\vec {\jmath }}\,\,)\,\,\mathrm {m} \,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\omega }}=(4\,{\vec {\imath }}\,-\,3\,{\vec {\jmath }}\,\,)\,\,\mathrm {rad} /\mathrm {s} \,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\alpha }}=(-\,8\,{\vec {\imath }}\,+\,6\,{\vec {\jmath }}\,\,)\,\,\mathrm {rad} /\mathrm {s} ^{2}$

1. ¿Cuánto vale la aceleración de la partícula en dicho instante?
2. ¿Cuál es el radio de curvatura de su trayectoria?

No Boletín - Dos móviles sobre el eje OX acercándose (Ex.Oct/14)

Un móvil A recorre el eje OX con una velocidad constante ${\vec {v}}_{A}=-\,25\,{\vec {\imath }}\,\,\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \,$, hallándose en el punto $x=2\,\mathrm {km} \,$ en el instante inicial $t=0\,$. En ese mismo instante un segundo móvil B, que se encuentra en reposo en el punto $x=0\,$, comienza a moverse con una aceleración creciente en el tiempo según la fórmula:

${\vec {a}}_{B}(t)=C\,t\,{\vec {\imath }}$

donde $C\,$ es una constante de valor igual a $2\,\mathrm {x} 10^{-2}\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{3}\,$.

1. ¿Cuánto tiempo transcurre hasta el instante en el que la celeridad de B alcanza el mismo valor que la celeridad de A?
2. ¿Qué distancia hay entre los móviles A y B en el instante al que se refiere la pregunta anterior?

No Boletín - Dos móviles sobre el eje OX acercándose II (Ex.Oct/17)

Un móvil A recorre el eje OX con una aceleración constante ${\vec {a}}_{A}(t)=-2\,{\vec {\imath }}\,\,\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}\,$, hallándose en reposo en el punto $x=d>0\,$ en el instante inicial $t=0\,$. En ese mismo instante un segundo móvil B, que se encuentra en reposo en el punto $x=0\,$, comienza a moverse con una aceleración creciente en el tiempo según la fórmula:

${\vec {a}}_{B}(t)=Ct\,{\vec {\imath }}\,$

donde $C\,$ es una constante de valor igual a $6\,\mathrm {x} \,10^{-1}\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{3}\,$.

1. ¿Qué distancia separaba inicialmente a los móviles si se cruzan justo en el punto medio entre sus posiciones de partida?
2. ¿Qué celeridad tiene el móvil B en el instante en que ambos se cruzan?

No Boletín - Ejemplo de movimiento circular no uniforme (Ex.Sep/11)

Una partícula de masa $m$ describe un movimiento circular de radio $R$, tal que su velocidad angular instantánea cumple

$\omega =k\theta \,$

con $k$ una constante y $\theta$ el ángulo que el vector de posición instantánea forma con el eje OX.

1. Determine la aceleración angular de la partícula como función del ángulo $\theta$.
2. Halle las componentes intrínsecas de la aceleración lineal.

No Boletín - Identificación de movimiento (Ex.Nov/10)

Una partícula se mueve según las ecuaciones horarias

${\vec {r}}(t)=A\cos ^{2}(\omega t){\vec {\imath }}+2A\,\mathrm {sen} ^{2}(\omega t){\vec {\jmath }}+2A\cos ^{2}(\omega t){\vec {k}}$

1. ¿Qué trayectoria sigue la partícula?
2. Determine la ley horaria $s(t)$. Suponga que $s(0)=0$.
3. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

No Boletín - Identificación de movimiento II (Ex.Nov/11)

Un punto material se mueve con ecuación horaria:

${\vec {r}}(t)=12A\,{\mbox{sen}}(\omega t)\,{\vec {\imath }}+5A\,{\mbox{sen}}(\omega t)\,{\vec {\jmath }}+13A\,{\mbox{cos}}(\omega t)\,{\vec {k}}$

donde $A\,$ y $\omega \,$ son constantes conocidas.

1. Determine la ley horaria $s(t)$ suponiendo que $s(0)=0$.
2. Determine el triedro de Frenet y el radio de curvatura en cada instante.
3. Identifique el tipo de movimiento.

No Boletín - Identificación de movimiento III (Ex.Oct/13)

En el triedro cartesiano $OXYZ\,$, una partícula $P\,$ se mueve conforme a la ecuación horaria:

${\overrightarrow {OP}}\equiv {\vec {r}}(t)=A\,\mathrm {sen} (\omega t)\,\mathrm {cos} (\omega t)\,{\vec {\jmath }}+A\,\mathrm {cos} ^{2}(\omega t)\,{\vec {k}}$

donde $A\,$ y $\omega \,$ son constantes conocidas.

1. ¿Qué trayectoria sigue la partícula?
2. ¿Con qué tipo de movimiento es recorrida dicha trayectoria?

No Boletín - Movimiento en espiral descrito en polares II (Ex.Oct/15)

Una partícula recorre una espiral de Arquímedes, estando su posición en cada instante de tiempo descrita en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:

$\rho (t)=\rho _{0}+v_{0}\,t\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\theta (t)=\omega _{0}\,t$

donde $\,\rho _{0}\,$, $\,v_{0}\,$ y $\,\omega _{0}\,$ son constantes positivas conocidas.

1. Determine la aceleración de la partícula expresada en la base polar.
2. Calcule la aceleración tangencial de la partícula.

No Boletín - Movimiento en espiral descrito en polares III (Ex.Nov/16)

El movimiento de cierta partícula en el plano $OXY\,$ viene dado en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:

$\rho \,(t)=\rho _{0}\,e^{\Omega \,t}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\theta \,(t)=\Omega t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(siendo} \,\,\rho _{0}\,\,\mathrm {y} \,\,\Omega \,\,\mathrm {constantes} \,\,\mathrm {positivas} \,\,\mathrm {conocidas)}$

1. Al expresar en la base polar la velocidad (${\vec {v}}=v_{\rho }\,{\vec {u}}_{\rho }+v_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }\,$) y la aceleración (${\vec {a}}=a_{\rho }\,{\vec {u}}_{\rho }+a_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }\,$) de la citada partícula, una de las cuatro componentes resulta ser nula en todo instante de tiempo. ¿Cuál de ellas?
2. Determine el vector normal ${\vec {N}}\,$ del triedro intrínseco de la trayectoria de la partícula.

No Boletín - Otro movimiento de partícula sujeta de un hilo (Ex.Sep/12)

La barra rígida $AB\,$, de longitud $L\,$, se halla contenida en el plano vertical $OXY\,$ y rota alrededor de su extremo fijo $A\,$, cuya posición viene dada por $\,{\overrightarrow {OA}}=L\,{\vec {\imath }}$. Un hilo inextensible, de longitud $2L\,$, tiene uno de sus extremos conectado a un deslizador puntual $Q\,$ que puede desplazarse sobre el eje vertical $OY\,$, mientras que del otro extremo cuelga una partícula $P$ que mantiene al hilo tenso.

El hilo se apoya sobre una pequeña polea de radio despreciable situada en el extremo $B$ de la barra, y el movimiento del mecanismo es tal que el tramo $QB\,$ permanece siempre paralelo al eje $OX\,$, y el tramo $BP\,$ permanece siempre paralelo al eje $OY\,$ (ver figura).

1. Determine el vector de posición de la partícula en función del ángulo que forma la barra $AB\,$ con el eje $OX\,$, es decir, ${\overrightarrow {OP}}\equiv {\vec {r}}(\theta )$.
2. Para la ley horaria $\theta (t)=\Omega \,t$ (donde $\,\Omega \,$ es una constante positiva conocida, y $\,0\leq \theta (t)\leq \pi /2$), halle los vectores velocidad y aceleración de la partícula $P$ en función del tiempo.
3. Sólo para el instante en que $\,\theta =\pi /4\,$, determine las componentes intrínsecas de la aceleración y el radio de curvatura de la partícula $P$.

No Boletín - Otro tiro parabólico (Ex.Sep/15)

Un proyectil se mueve en el plano vertical $OXZ\,$. Se conoce su aceleración constante (debida a su propio peso), y también su posición y su velocidad en el instante inicial ($t=0\,$):

${\vec {a}}(t)=-g\,{\vec {k}}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {r}}(0)=h\,{\vec {k}}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}(0)=v_{0}\,[\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}+\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {k}}\,]$

donde $g\,$, $h\,$ y $v_{0}\,$ tienen valores positivos, y $\theta \,$ está comprendido en el intervalo $0<\theta <\pi /2.\,$

1. Determine el radio de curvatura de la trayectoria del proyectil en el instante inicial.
2. Determine la celeridad del proyectil en el instante en el que su trayectoria corta al eje $OX.\,$

No Boletín - Otro tiro parabólico II (proyectil y ave) (Ex.Nov/16)

Un proyectil y un ave se mueven simultáneamente en el plano vertical $OXZ\,$. El proyectil tiene una aceleración constante (de módulo $g\,$) debida a la gravedad, y su posición y su velocidad iniciales son las correspondientes a un lanzamiento desde el origen de coordenadas con celeridad inicial $v_{0}\,$ y con un ángulo $\theta _{0}\,$ sobre el eje horizontal $OX\,$ (siendo $0\!<\!\theta _{0}\!<\!\pi /2\,$):

${\vec {a}}(t)=-\,g\,{\vec {k}}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {r}}\,(0)={\vec {0}}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}\,(0)=v_{0}\,[\,\mathrm {cos} (\theta _{0})\,{\vec {\imath }}+\mathrm {sen} (\theta _{0})\,{\vec {k}}\,]$

Por otra parte, el ave vuela con celeridad constante $v_{a}\,$ y manteniendo una altura constante $h\,$, y su posición inicial está en la vertical del punto de lanzamiento del proyectil, es decir:

${\vec {v}}_{a}(t)=v_{a}\,{\vec {\imath }}\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {r}}_{a}(0)=h\,{\vec {k}}$

Considerando que $g\,$, $v_{0}\,$ y $h\,$ tienen valores positivos conocidos, y sabiendo que el ave recibe el impacto del proyectil justo en el instante en el que éste alcanza la posición de máxima altura en su trayectoria parabólica, determine (en función de $g\,$, $v_{0}\,$ y $h\,$):

1. El ángulo $\theta _{0}\,$ de lanzamiento del proyectil.
2. La celeridad constante $v_{a}\,$ del ave.

No Boletín - Otro tiro parabólico III (Ex.Oct/18)

Un proyectil se mueve en el plano vertical $OXZ\,$. Se sabe que tiene una aceleración constante (de módulo $g\,$) debida a la gravedad, y que su posición y su velocidad iniciales son las correspondientes a un lanzamiento desde el origen de coordenadas con celeridad inicial $v_{0}\,$ y con un ángulo $\theta _{0}\,$ sobre el eje horizontal $OX\,$ (siendo $\pi /4<\theta _{0}<\pi /2\,$):

${\vec {a}}(t)=-g{\vec {k}}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {r}}(0)={\vec {0}}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}(0)=v_{0}[\mathrm {cos} (\theta _{0}){\vec {\imath }}+\mathrm {sen} (\theta _{0}){\vec {k}}]$

1. ¿En qué instante $t=t^{*}\,$ tienen valores iguales las aceleraciones tangencial y normal del proyectil $[a_{t}(t^{*})=a_{n}(t^{*})]\,$?
2. ¿Cuál es el radio de curvatura de la trayectoria del proyectil en el instante definido en la pregunta anterior?

No Boletín - Persecución en el eje OX (Ex.Oct/19)

Un coche circula por una carretera rectilínea (eje OX) con una velocidad constante de $30\,{\vec {\imath }}\,\,\mathrm {m/s} \,$ , y en cierto instante pasa por el lado de un motorista que se encuentra parado en el arcén. Transcurrido un tiempo de $2\,\,\mathrm {s} \,$ desde que pasó por su lado, el motorista inicia la persecución del coche, que realiza del siguiente modo: partiendo del reposo, mantiene una aceleración constante de $6\,{\vec {\imath }}\,\,\mathrm {m/s} ^{2}\,$ hasta el instante en el que alcanza una velocidad de $48\,{\vec {\imath }}\,\,\mathrm {m/s} \,$ , instante a partir del cual mantiene constante dicha velocidad.

1. ¿Cuánto tiempo transcurre desde el inicio de la persecución hasta que el motorista alcanza al coche?
2. ¿Qué longitud total habrá recorrido el motorista cuando alcance al coche?

No Boletín - Rectilíneo con aceleración creciente (Ex.Oct/13)

Una partícula, inicialmente en reposo en el origen de coordenadas, se mueve con una aceleración creciente en el tiempo según la fórmula:

${\vec {a}}(t)=3Ct^{2}\,{\vec {\jmath }}$

siendo $C\,$ una constante de valor igual a $1\,\mathrm {m/s} ^{4}\,$. ¿A qué distancia del origen de coordenadas se hallará la partícula en el instante $t=2\,\mathrm {s} \,$?

No Boletín - Rectilíneo con aceleración exponencialmente decreciente (Ex.Oct/15)

Una partícula, que se hallaba en reposo en el instante inicial ($t=0\,$), se mueve con una aceleración exponencialmente decreciente en el tiempo según la fórmula:

${\vec {a}}(t)=g\,e^{\displaystyle -\lambda \,t}\,\,{\vec {\imath }}$

donde $\,g\,$ y $\,\lambda \,$ son constantes positivas conocidas.

¿Hacia qué valor límite tiende la velocidad de dicha partícula cuando se deja pasar mucho tiempo ($t\rightarrow \infty \!\,$) ?

No Boletín - Rotación y traslación terrestres

La Tierra rota uniformemente con respecto a su eje con velocidad angular $\omega$ constante. Encuentre en función de la latitud $\lambda$, la velocidad y la aceleración de un punto sobre la superficie terrestre, debidas a dicha rotación (radio de la Tierra: $R=6370\,\mathrm {km}$)

Compare los módulos de los valores anteriores para el caso de un punto en el Ecuador, con los correspondientes al movimiento de traslación alrededor del Sol (distancia Tierra-Sol aproximadamente constante e igual a $d=0.15\,\mathrm {Tm}$).

No Boletín - Tipo de movimiento rectilíneo (Ex.Nov/16)

Una partícula se mueve a lo largo del eje $OX\,$ y, por tanto, sus vectores de posición, velocidad y aceleración vienen dados, respectivamente, por las expresiones ${\vec {r}}=x\,{\vec {\imath }}\,$, ${\vec {v}}={\dot {x}}\,{\vec {\imath }}\,$ y ${\vec {a}}={\ddot {x}}\,{\vec {\imath }}\,$.

Se sabe que en todo instante de tiempo se verifica la siguiente relación entre su velocidad y su posición:

${\dot {x}}=C_{1}\displaystyle {\sqrt {1-(C_{2}\,x)^{2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(siendo} \,\,C_{1}\,\,\mathrm {y} \,\,C_{2}\,\,\mathrm {sendas} \,\,\mathrm {constantes} \,\,\mathrm {conocidas)}$

Determine su aceleración para poder elegir la respuesta correcta a la pregunta que se plantea a continuación.

¿Qué tipo de movimiento rectilíneo realiza esta partícula?

(a) Uniforme.

(b) Armónico simple.

(c) Uniformemente acelerado.

(d) Ninguno de los otros tres.

No Boletín - Valores instantáneos de velocidad y aceleración (Ex.Oct/13)

En un instante dado, la velocidad y la aceleración de una partícula son las siguientes:

${\vec {v}}=(-2\,{\vec {\imath }}-2\,{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}\,)\,\,\mathrm {m/s} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}=-3\,{\vec {k}}\,\,\mathrm {m/s} ^{2}$

1. ¿Cuánto vale en ese instante su aceleración tangencial?
2. ¿Cuál es el radio de curvatura de la trayectoria en ese instante?

No Boletín - Valores instantáneos de velocidad y aceleración II (Ex.Oct/19)

Una partícula está realizando un movimiento circular, y en un instante dado su velocidad y su aceleración son las siguientes:

${\vec {v}}={\sqrt {2}}\,(\,{\vec {\imath }}+{\vec {k}}\,)\,\,\mathrm {m/s} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\,(-\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\,\,)\,\,\mathrm {m/s} ^{2}$

1. ¿Cuánto vale en ese instante la aceleración tangencial de la partícula?
2. ¿Cuál es el radio de la circunferencia descrita por la partícula?
3. ¿Cuál es el vector velocidad angular de la partícula en el instante considerado?