No Boletín - Cuestión sobre velocidad y aceleración en el triedro de Frenet (Ex.Oct/13)

Enunciado

Para un instante dado, se representan la velocidad ${\vec {v}}\,$ y la aceleración ${\vec {a}}\,$ de una partícula en sus orientaciones relativas a algún plano del triedro de Frenet $\{{\vec {T}},{\vec {N}},{\vec {B}}\}\,$. (Nota: se utiliza $\odot \,$ para vectores perpendiculares al plano del papel y de sentido saliente, y $\otimes \,$ para vectores perpendiculares al plano del papel y de sentido entrante).

¿Cuál es el diagrama correcto si se sabe que el movimiento es uniforme no rectilíneo?

Solución

El diagrama (2) se descarta de inmediato porque sabemos que el vector aceleración de una partícula puede tener componente tangencial y/o componente normal, pero jamás tiene componente binormal (en dicho diagrama observamos un vector aceleración ${\vec {a}}\,$ no ortogonal al vector binormal ${\vec {B}}\,$).

El diagrama (4) también es manifiestamente erróneo porque sabemos que la componente normal de la aceleración jamás puede ser negativa (en dicho diagrama observamos un vector aceleración ${\vec {a}}\,$ formando un ángulo obtuso con el vector normal principal ${\vec {N}}\,$).

El diagrama (1) se descarta cuando leemos en el enunciado que el movimiento de la partícula es uniforme, lo cual significa que su celeridad es constante en el tiempo y por tanto su aceleración tangencial ha de ser nula (en dicho diagrama observamos un vector aceleración ${\vec {a}}\,$ no ortogonal al vector tangente unitario ${\vec {T}}\,$).

Así que el diagrama (3) es el correcto. En él se observa un vector velocidad colineal con el vector tangente unitario ${\vec {T}}\,$ (el vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria), y un vector aceleración ${\vec {a}}\,$ dirigido en la misma dirección y en el mismo sentido que el vector normal principal ${\vec {N}}\,$, lo cual es compatible con que el movimiento de la partícula sea uniforme (aceleración tangencial nula) y no rectilíneo (si fuese rectilíneo además de uniforme, el vector aceleración tendría que ser nulo).