No Boletín - Otro movimiento de partícula sujeta de un hilo (Ex.Sep/12)

Enunciado

La barra rígida $AB\,$, de longitud $L\,$, se halla contenida en el plano vertical $OXY\,$ y rota alrededor de su extremo fijo $A\,$, cuya posición viene dada por $\,{\overrightarrow {OA}}=L\,{\vec {\imath }}$. Un hilo inextensible, de longitud $2L\,$, tiene uno de sus extremos conectado a un deslizador puntual $Q\,$ que puede desplazarse sobre el eje vertical $OY\,$, mientras que del otro extremo cuelga una partícula $P\,$ que mantiene al hilo tenso.

El hilo se apoya sobre una pequeña polea de radio despreciable situada en el extremo $B$ de la barra, y el movimiento del mecanismo es tal que el tramo $QB\,$ permanece siempre paralelo al eje $OX\,$, y el tramo $BP\,$ permanece siempre paralelo al eje $OY\,$ (ver figura).

1. Determine el vector de posición de la partícula en función del ángulo que forma la barra $AB\,$ con el eje $OX\,$, es decir, ${\overrightarrow {OP}}\equiv {\vec {r}}(\theta )$.
2. Para la ley horaria $\theta (t)=\Omega \,t$ (donde $\,\Omega \,$ es una constante positiva conocida, y $\,0\leq \theta (t)\leq \pi /2$), halle los vectores velocidad y aceleración de la partícula $P$ en función del tiempo.
3. Sólo para el instante en que $\,\theta =\pi /4\,$, determine las componentes intrínsecas de la aceleración y el radio de curvatura de la partícula $P$.

Vector de posición

El vector de posición ${\overrightarrow {OP}}\,$ se puede descomponer en la suma vectorial:

${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BP}}$

siendo

${\overrightarrow {OA}}=L\,{\vec {\imath }}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,{\overrightarrow {AB}}=L\cos(\theta ){\vec {\imath }}+L\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,{\overrightarrow {BP}}=-|{\overrightarrow {BP}}|\,{\vec {\jmath }}$

El módulo de ${\overrightarrow {BP}}$ se calcula a partir de la longitud del hilo $2L=|{\overrightarrow {QB}}|+|{\overrightarrow {BP}}|$, resultando:

$|{\overrightarrow {BP}}|=2L-|{\overrightarrow {QB}}|=2L-[L+L\cos(\theta )]=L-L\cos(\theta )$

Sustituyendo:

${\overrightarrow {OP}}=L\left[1+\cos(\theta )\right]{\vec {\imath }}+L\left[\mathrm {sen} (\theta )+\cos(\theta )-1\right]{\vec {\jmath }}$

Vectores velocidad y aceleración para la ley horaria $\theta (t)=\Omega t$

Se sustituye la ley horaria $\theta (t)=\Omega t\,$ en la expresión del vector de posición obtenida en el apartado anterior:

${\overrightarrow {OP}}=L\left[1+\cos(\Omega t)\right]{\vec {\imath }}+L\left[\mathrm {sen} (\Omega t)+\cos(\Omega t)-1\right]{\vec {\jmath }}$

Derivando el vector de posición respecto al tiempo y teniendo en cuenta que $\Omega$ es una constante conocida, se obtiene el vector ${\vec {v}}\,$ en función del tiempo:

${\vec {v}}(t)=-\Omega L\,\mathrm {sen} (\Omega t)\,{\vec {\imath }}+\Omega L\left[\cos(\Omega t)-\mathrm {sen} (\Omega t)\right]{\vec {\jmath }}$

Y derivando el vector velocidad respecto al tiempo, se obtiene el vector ${\vec {a}}\,$ en función del tiempo:

${\vec {a}}(t)=-\Omega ^{2}L\cos(\Omega t)\,{\vec {\imath }}-\Omega ^{2}L\left[\mathrm {sen} (\Omega t)+\cos(\Omega t)\right]{\vec {\jmath }}$

Componentes intrínsecas de la aceleración y radio de curvatura cuando $\theta =\pi /4$

Evaluemos en primer lugar los vectores velocidad y aceleración para el instante en que $\theta =\Omega t=\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\,$, es decir, para $t=\displaystyle {\frac {\pi }{4\Omega }}$

$t=\displaystyle {\frac {\pi }{4\Omega }}\,\,\longrightarrow \,\,\left\{{\begin{array}{l}{\vec {v}}=-\Omega L\,\mathrm {sen} \left(\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\right)\,{\vec {\imath }}+\Omega L\left[\mathrm {cos} \left(\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\right)-\mathrm {sen} \left(\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\right)\right]{\vec {\jmath }}=-\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}\,\Omega L}{2}}\,{\vec {\imath }}\\\\{\vec {a}}=-\Omega ^{2}L\,\mathrm {cos} \left(\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\right)\,{\vec {\imath }}-\Omega ^{2}L\left[\mathrm {sen} \left(\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\right)+\mathrm {cos} \left(\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\right)\right]{\vec {\jmath }}=-\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}\,\Omega ^{2}L}{2}}\,{\vec {\imath }}-{\sqrt {2}}\,\Omega ^{2}L\,{\vec {\jmath }}\end{array}}\right.$

Las componentes intrínsecas de la aceleración y el radio de curvatura en el citado instante de tiempo se pueden obtener a partir de las siguientes expresiones:

$a_{T}=\displaystyle {\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {a}}}{v}}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,a_{N}=\displaystyle {\frac {|{\vec {v}}\times {\vec {a}}\,|}{v}}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,R_{\kappa }=\displaystyle {\frac {v^{2}}{a_{N}}}$

Operando:

$v=|{\vec {v}}|={\frac {\sqrt {2}}{2}}\Omega L\,;\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}\cdot {\vec {a}}={\frac {1}{2}}\,\Omega ^{3}L^{2}\,;\,\,\,\,\,\,\,|{\vec {v}}\times {\vec {a}}\,|=|\Omega ^{3}L^{2}\,{\vec {k}}|=\Omega ^{3}L^{2}$

Y sustituyendo en las expresiones anteriores, se obtiene:

$a_{T}={\frac {\Omega ^{2}L}{\sqrt {2}}}\,;\,\,\,\,\,\,\,a_{N}={\sqrt {2}}\,\Omega ^{2}L\,;\,\,\,\,\,\,\,R_{\kappa }={\frac {L}{2{\sqrt {2}}}}$