Enunciado

Una partícula se mueve a lo largo de la hélice descrita por la ecuación paramétrica

donde y son constantes conocidas. El movimiento de la partícula sigue la ley horaria

donde y son constantes conocidas.

  1. Determine el parámetro arco de la hélice descrita, como función del parámetro y como función del tiempo.
  2. Halle la rapidez del movimiento.
  3. Calcule la componente tangencial de la aceleración de la partícula en todo instante.
  4. Para el instante calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
  5. Para el mismo instante, halle los vectores del triedro de Frenet, así como el radio de curvatura de la partícula y su aceleración normal.

Parámetro arco

Podemos determinar el parámetro arco empleando la variable según la relación

Derivando y calculando el módulo

El módulo de este vector vale

Puesto que el módulo es independiente de , su integración es inmediata

 ⇒ 

Y para obtener el parámetro arco en función del tiempo, basta sustituir en la ley horaria del enunciado

Celeridad

El cálculo de la rapidez es inmediato por derivación respecto al tiempo del parámetro arco

Aceleración tangencial

Obtenemos la componente tangencial de la aceleración derivando la celeridad respecto al tiempo

Puesto que esta aceleración tangencial es constante, el movimiento a lo largo de la hélice es uniformemente acelerado.

Velocidad y aceleración iniciales

Hallamos la ecuación horaria sustituyendo la ley horaria en la ecuación de la trayectoria

Derivando en esta expresión respecto al tiempo

Haciendo

Obtenemos la aceleración derivando la velocidad respecto al tiempo

Haciendo aquí

Triedro de Frenet

Para el instante inicial hallamos el vector tangente a la circunferencia normalizando la velocidad



Si lo escribimos en función de la inclinación de la hélice, , definida en la teoría, queda:

siendo evidente a partir de la figura que:

  ;    


El vector binormal lo hallamos normalizando el producto vectorial de la velocidad y la aceleración:

Resulta el vector

que es claramente ortogonal al vector tangente.

Escrito en función de :

Multiplicando estos dos hallamos el vector normal

que es ortogonal a los dos anteriores.

De aquí tenemos que la aceleración normal en el instante inicial es igual a

y el radio de curvatura inicial vale

Puede demostrarse que este radio de curvatura es constante a lo largo de todo el movimiento.

Método alternativo: Tras calcular , podríamos haber calculado el vector aceleración normal como:

Tomando módulo y normalizando, obtendríamos la aceleración normal y el vector normal principal, respectivamente:

Y el vector binormal se obtendría entonces como