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No Boletín - Ejemplo de movimiento circular no uniforme (Ex.Sep/11)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa m describe un movimiento circular de radio R, tal que su velocidad angular instantánea cumple

\omega = k\theta\,

con k una constante y θ el ángulo que el vector de posición instantánea forma con el eje OX.

  1. Determine la aceleración angular de la partícula como función del ángulo θ.
  2. Halle las componentes intrínsecas de la aceleración lineal.
Archivo:particula-circunferencia.png

2 Aceleración angular

Hallamos la aceleración angular como la derivada respecto al tiempo de la velocidad angular

\alpha = \dot{\omega} = k\dot{\theta}

debemos escribir \dot{\theta} como función del propio ángulo θ, como nos pide el enunciado. Esto lo hacemos simplemente observando que la derivada temporal del ángulo girado no es otra que la velocidad angular

\dot{\theta} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \omega = k\theta

así que sustituyendo en la expresión de la aceleración angular, se obtiene la relación pedida

\alpha = k^2\theta\,

En forma vectorial, teniendo en cuenta que en un movimiento circular la aceleración angular es perpendicular al plano de giro

\vec{\alpha} = \alpha\vec{k} = k^2\theta\vec{k}

3 Componentes intrínsecas de la aceleración

Tenemos dos componentes intrínsecas de la aceleración:

3.1 Aceleración tangencial

Puesto que el movimiento no es uniforme, existe una aceleración tangencial igual a la derivada temporal de la rapidez

a_t = \frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}

siendo el módulo de la velocidad

|\vec{v}| = \omega R = kR\theta

Derivando respecto al tiempo

a_t = kR \dot{\theta}= kR\omega  = k^2R\theta

3.2 Aceleración normal

El valor de la aceleración normal es

a_n = \frac{|\vec{v}|^2}{R} = \frac{(kR\theta)^2}{R} = k^2R\theta^2

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