No Boletín - Ejemplo de movimiento circular no uniforme (Ex.Sep/11)

Enunciado

Una partícula de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} describe un movimiento circular de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} , tal que su velocidad angular instantánea cumple

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = k\theta\,}

con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} una constante y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} el ángulo que el vector de posición instantánea forma con el eje OX.

1. Determine la aceleración angular de la partícula como función del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} .
2. Halle las componentes intrínsecas de la aceleración lineal.

Aceleración angular

Hallamos la aceleración angular como la derivada respecto al tiempo de la velocidad angular

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha = \dot{\omega} = k\dot{\theta}}

debemos escribir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}} como función del propio ángulo $\theta$, como nos pide el enunciado. Esto lo hacemos simplemente observando que la derivada temporal del ángulo girado no es otra que la velocidad angular

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \omega = k\theta}

así que sustituyendo en la expresión de la aceleración angular, se obtiene la relación pedida

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha = k^2\theta\,}

En forma vectorial, teniendo en cuenta que en un movimiento circular la aceleración angular es perpendicular al plano de giro

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha} = \alpha\vec{k} = k^2\theta\vec{k}}

Componentes intrínsecas de la aceleración

Tenemos dos componentes intrínsecas de la aceleración:

Aceleración tangencial

Puesto que el movimiento no es uniforme, existe una aceleración tangencial igual a la derivada temporal de la rapidez

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t = \frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}}

siendo el módulo de la velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}| = \omega R = kR\theta}

Derivando respecto al tiempo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t = kR \dot{\theta}= kR\omega = k^2R\theta}

Aceleración normal

El valor de la aceleración normal es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_n = \frac{|\vec{v}|^2}{R} = \frac{(kR\theta)^2}{R} = k^2R\theta^2}