No Boletín - Celeridad media en viaje mixto (Ex.Jun/13)

Enunciado

Un automóvil realiza un viaje de 100 km que consta de una primera parte sobre una carretera asfaltada y una segunda parte sobre un carril de tierra. En la carretera asfaltada avanza con una celeridad constante de 120 km/h, mientras que en el carril de tierra lo hace con una celeridad constante de 30 km/h. Sabiendo que la celeridad media en el trayecto total es de 75 km/h, ¿cuál es la longitud recorrida sobre el carril de tierra?

Solución

Llamaremos $L_{A}\,$ y $L_{T}\,$ a las longitudes (en kilómetros) recorridas por el automóvil sobre asfalto y sobre tierra, respectivamente. Y llamaremos $t_{A}\,$ y $t_{T}\,$ a los tiempos (en horas) invertidos respectivamente en dichos recorridos.

Es dato la longitud total del viaje:

$L_{A}+L_{T}=100\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

También sabemos por el enunciado que las celeridades en cada tramo son constantes y conocidas, lo cual nos permite relacionar longitud recorrida y tiempo invertido en cada parte del viaje:

${\frac {L_{A}}{t_{A}}}=120\,\,\Longrightarrow \,\,t_{A}={\frac {L_{A}}{120}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\frac {L_{T}}{t_{T}}}=30\,\,\Longrightarrow \,\,t_{T}={\frac {L_{T}}{30}}$

Por último, también es conocida la celeridad media en el trayecto total, es decir, el cociente entre la longitud total del viaje y el tiempo total empleado por el automóvil en realizarlo:

${\frac {L_{A}+L_{T}}{t_{A}+t_{T}}}=75\,\,\Longrightarrow \,\,{\frac {100}{{\frac {L_{A}}{120}}+{\frac {L_{T}}{30}}}}=75\,\,\Longrightarrow \,\,5L_{A}+20L_{T}=800\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

Resolviendo el sistema de ecuaciones (1)-(2), obtenemos los siguientes valores de las incógnitas: $\,\,L_{A}=80\,\mathrm {km} \,$ y $\,\,L_{T}=20\,\mathrm {km} \,$

Por tanto, la respuesta a la pregunta formulada en el enunciado del problema es que el automóvil recorre 20 km sobre el carril de tierra.