No Boletín - Celeridad media en viaje mixto (Ex.Jun/13)

Enunciado

Un automóvil realiza un viaje de 100 km que consta de una primera parte sobre una carretera asfaltada y una segunda parte sobre un carril de tierra. En la carretera asfaltada avanza con una celeridad constante de 120 km/h, mientras que en el carril de tierra lo hace con una celeridad constante de 30 km/h. Sabiendo que la celeridad media en el trayecto total es de 75 km/h, ¿cuál es la longitud recorrida sobre el carril de tierra?

Solución

Llamaremos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_T\,} a las longitudes (en kilómetros) recorridas por el automóvil sobre asfalto y sobre tierra, respectivamente. Y llamaremos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_T\,} a los tiempos (en horas) invertidos respectivamente en dichos recorridos.

Es dato la longitud total del viaje:

$L_{A}+L_{T}=100\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

También sabemos por el enunciado que las celeridades en cada tramo son constantes y conocidas, lo cual nos permite relacionar longitud recorrida y tiempo invertido en cada parte del viaje:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{L_A}{t_A} = 120 \,\,\Longrightarrow\,\, t_A=\frac{L_A}{120}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{L_T}{t_T} = 30 \,\,\Longrightarrow\,\, t_T=\frac{L_T}{30}}

Por último, también es conocida la celeridad media en el trayecto total, es decir, el cociente entre la longitud total del viaje y el tiempo total empleado por el automóvil en realizarlo:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{L_A+L_T}{t_A+t_T} = 75 \,\,\Longrightarrow\,\, \frac{100}{\frac{L_A}{120}+\frac{L_T}{30}}=75 \,\,\Longrightarrow\,\, 5L_A+20L_T=800 \,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)}

Resolviendo el sistema de ecuaciones (1)-(2), obtenemos los siguientes valores de las incógnitas: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,L_A=80\,\mathrm{km}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,L_T=20\,\mathrm{km}\,}

Por tanto, la respuesta a la pregunta formulada en el enunciado del problema es que el automóvil recorre 20 km sobre el carril de tierra.