No Boletín - Movimiento en espiral descrito en polares II (Ex.Oct/15)

Enunciado

Una partícula recorre una espiral de Arquímedes, estando su posición en cada instante de tiempo descrita en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:

$\rho (t)=\rho _{0}+v_{0}\,t\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\theta (t)=\omega _{0}\,t$

donde $\,\rho _{0}\,$, $\,v_{0}\,$ y $\,\omega _{0}\,$ son constantes positivas conocidas.

1. Determine la aceleración de la partícula expresada en la base polar.
2. Calcule la aceleración tangencial de la partícula.

Aceleración en la base polar

La velocidad y la aceleración de la partícula en la base polar vienen dadas por la expresiones:

${\begin{array}{l}{\vec {v}}={\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\\\\{\vec {a}}=\left({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\theta }}^{2}\right)\,{\vec {u}}_{\rho }+\left(2{\dot {\rho }}\,{\dot {\theta }}+\rho \,{\ddot {\theta }}\,\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}$

Por tanto, calculamos las derivadas primera y segunda respecto al tiempo de las ecuaciones horarias:

${\dot {\rho }}=v_{0}$  ;      ${\ddot {\rho }}=0$  ;      ${\dot {\theta }}=\omega _{0}$  ;      ${\ddot {\theta }}=0$

y, sustituyendo en las expresiones de arriba, obtenemos la velocidad de la partícula, su celeridad (que es el módulo de la velocidad) y su aceleración:

${\begin{array}{l}{\vec {v}}=v_{0}\,{\vec {u}}_{\rho }+\omega _{0}\,\rho \,{\vec {u}}_{\theta }\,\,\longrightarrow \,\,v=|{\vec {v}}\,|={\sqrt {v_{0}^{2}+\omega _{0}^{2}\,\rho ^{2}}}\\\\{\vec {a}}=-\,\omega _{0}^{2}\,\rho \,{\vec {u}}_{\rho }+2\,v_{0}\,\omega _{0}\,{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}$

Aceleración tangencial

Para calcular la componente tangencial de la aceleración tenemos dos posibilidades: proyectar el vector aceleración sobre la dirección del vector velocidad (dirección tangente a la trayectoria), o bien derivar respecto al tiempo la celeridad:

$a_{t}={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}}{v}}=\displaystyle {\frac {v_{0}\,\omega _{0}^{2}\,\rho }{\sqrt {v_{0}^{2}+\omega _{0}^{2}\,\rho ^{2}}}}$  ;      $a_{t}={\dot {v}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} \rho }}\,{\dot {\rho }}=\displaystyle {\frac {v_{0}\,\omega _{0}^{2}\,\rho }{\sqrt {v_{0}^{2}+\omega _{0}^{2}\,\rho ^{2}}}}$