No Boletín - Movimiento en espiral descrito en polares II (Ex.Oct/15)

Enunciado

Una partícula recorre una espiral de Arquímedes, estando su posición en cada instante de tiempo descrita en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho(t)=\rho_0+v_0\,t\,;\,\,\,\,\,\,\,\, \theta(t)=\omega_0\, t }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\rho_0\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,v_0\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\omega_0\,} son constantes positivas conocidas.

1. Determine la aceleración de la partícula expresada en la base polar.
2. Calcule la aceleración tangencial de la partícula.

Aceleración en la base polar

La velocidad y la aceleración de la partícula en la base polar vienen dadas por la expresiones:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \\ \\ \vec{a}=\left(\ddot{\rho}-\rho\,{\dot{\theta}}^2\right)\,\vec{u}_{\rho}+\left(2\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,\right)\,\vec{u}_{\theta} \end{array} }

Por tanto, calculamos las derivadas primera y segunda respecto al tiempo de las ecuaciones horarias:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\rho}=v_0}   ;      ${\ddot {\rho }}=0$  ;      ${\dot {\theta }}=\omega _{0}$  ;      ${\ddot {\theta }}=0$

y, sustituyendo en las expresiones de arriba, obtenemos la velocidad de la partícula, su celeridad (que es el módulo de la velocidad) y su aceleración:

${\begin{array}{l}{\vec {v}}=v_{0}\,{\vec {u}}_{\rho }+\omega _{0}\,\rho \,{\vec {u}}_{\theta }\,\,\longrightarrow \,\,v=|{\vec {v}}\,|={\sqrt {v_{0}^{2}+\omega _{0}^{2}\,\rho ^{2}}}\\\\{\vec {a}}=-\,\omega _{0}^{2}\,\rho \,{\vec {u}}_{\rho }+2\,v_{0}\,\omega _{0}\,{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}$

Aceleración tangencial

Para calcular la componente tangencial de la aceleración tenemos dos posibilidades: proyectar el vector aceleración sobre la dirección del vector velocidad (dirección tangente a la trayectoria), o bien derivar respecto al tiempo la celeridad:

$a_{t}={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}}{v}}=\displaystyle {\frac {v_{0}\,\omega _{0}^{2}\,\rho }{\sqrt {v_{0}^{2}+\omega _{0}^{2}\,\rho ^{2}}}}$  ;      Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t=\dot{v}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}\rho}\,\dot{\rho}=\displaystyle\frac{v_0\,\omega_0^2\,\rho}{\sqrt{v_0^2+\omega_0^2\,\rho^2}}}