No Boletín - Otro tiro parabólico II (proyectil y ave) (Ex.Nov/16)

Enunciado

Un proyectil y un ave se mueven simultáneamente en el plano vertical Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXZ\,} . El proyectil tiene una aceleración constante (de módulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g\,} ) debida a la gravedad, y su posición y su velocidad iniciales son las correspondientes a un lanzamiento desde el origen de coordenadas con celeridad inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_{0}\,} y con un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta_0\,} sobre el eje horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX\,} (siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0\!<\!\theta_0\!<\!\pi/2\,} ):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}(t)=-\,g\,\vec{k}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{r}\,(0)=\vec{0}\,\,\,; \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}\,(0)=v_{0}\,[\,\mathrm{cos}(\theta_0)\,\vec{\imath}+ \mathrm{sen}(\theta_0)\,\vec{k}\,] }

Por otra parte, el ave vuela con celeridad constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_a\,} y manteniendo una altura constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h\,} , y su posición inicial está en la vertical del punto de lanzamiento del proyectil, es decir:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_a(t)=v_a\,\vec{\imath}\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{r}_a(0)=h\,\vec{k} }

Considerando que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_{0}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h\,} tienen valores positivos conocidos, y sabiendo que el ave recibe el impacto del proyectil justo en el instante en el que éste alcanza la posición de máxima altura en su trayectoria parabólica, determine (en función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_{0}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h\,} ):

1. El ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta_0\,} de lanzamiento del proyectil.
2. La celeridad constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_a\,} del ave.

Ángulo de lanzamiento del proyectil

Las definiciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea establecen que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\,\, ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}}

En el caso que nos ocupa, conocemos los valores iniciales de la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}\,(0)\,} y de la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}\,(0)\,} del proyectil, y además conocemos su aceleración en todo instante, la cual tiene valor constante:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}(t)=-g\,\vec{k}=\vec{a}\,\,\mathrm{(cte)} }

Determinar la velocidad y la posición del proyectil para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t>0\,} se reduce a integrar la aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y un instante genérico:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lllll} \mathrm{d}\vec{v}=\vec{a}\,\mathrm{d}t & \longrightarrow & \displaystyle\int_{\vec{v}(0)}^{\vec{v}(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}=\vec{a}\displaystyle\int_{0}^{\, t}\mathrm{d}t & \longrightarrow & \vec{v}(t)=\vec{v}(0)+\vec{a}\,t \\ \\ \mathrm{d}\vec{r}=[\vec{v}(0)+\vec{a}\,t\,]\,\mathrm{d}t & \longrightarrow & \displaystyle\int_{\vec{r}(0)}^{\vec{r}(t)}\!\mathrm{d}\vec{r}=\vec{v}(0)\displaystyle\int_{0}^{\, t}\mathrm{d}t+\vec{a}\displaystyle\int_{0}^{\, t}\!t\,\mathrm{d}t & \longrightarrow & \vec{r}(t)=\vec{r}(0)+\vec{v}(0)\,t+\displaystyle\frac{1}{2}\,\vec{a}\,t^2\end{array} }

Sustituyendo los valores dados de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(0)\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(0)\,} , obtenemos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(t)=v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0)\,\vec{\imath}\,\,+\,\left[v_0\,\mathrm{sen}(\theta_0)-gt\,\right]\vec{k}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{r}(t)=v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0)\,t\,\,\vec{\imath}\,\,+\left[v_0\,\mathrm{sen}(\theta_0)\,t-\displaystyle\frac{1}{2}\,gt^2\right]\vec{k} }

El proyectil alcanzará la posición de máxima altura en el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t^*\,} en el que la componente vertical de su velocidad se anule (condición de máximo para la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z\,} del proyectil):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z(t^*)=z_{\mathrm{max}}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\dot{z}(t^*)=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, v_0\,\mathrm{sen}(\theta_0)\,-\,gt^*=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, t^*=\displaystyle\frac{v_0\,\mathrm{sen}(\theta_0)}{g} }

Por tanto, la máxima altura del proyectil es:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z_{\mathrm{max}}=z(t^*)=v_0\,\mathrm{sen}(\theta_0)\,t^*-\frac{1}{2}\,g(t^*)^2=\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}^2(\theta_0)}{2g} }

Y exigiendo que la máxima altura del proyectil coincida con la altura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h\,} a la que vuela el ave, determinamos el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta_0\,} de lanzamiento del proyectil:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z_{\mathrm{max}}=h\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}^2(\theta_0)}{2g}=h\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{sen}(\theta_0)=\frac{\sqrt{2gh}}{v_0} }

Celeridad constante del ave

Las componentes horizontales de las velocidades del proyectil (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0)\,} ) y del ave (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_a\,} ) son ambas constantes. Por tanto, tienen que ser iguales entre sí para que las coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\,} del proyectil y del ave (coincidentes en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0\,} ) coincidan también en el instante del impacto:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_a=v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0)=v_0\sqrt{1-\mathrm{sen}^2(\theta_0)}=v_0\sqrt{1-2gh/v_0^2}=\sqrt{v_0^2-2gh} }