No Boletín - Descripción vectorial de un movimiento circular (Ex.Nov/16)

Enunciado

Desde un triedro cartesiano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXYZ\,} , se observa el movimiento circular de una partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} cuyo eje de giro pasa por el origen de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} . En cierto instante, los vectores de posición, velocidad angular y aceleración angular de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} valen:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}=\overrightarrow{OP}=(-\,\vec{\imath}\,+\,2\,\vec{\jmath}\,\,)\,\,\mathrm{m}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{\omega}=(4\,\vec{\imath}\,-\,3\,\vec{\jmath}\,\,)\,\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{\alpha}=(-\,8\,\vec{\imath}\,+\,6\,\vec{\jmath}\,\,)\,\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}^2 }

1. ¿Cuánto vale la aceleración de la partícula en dicho instante?
2. ¿Cuál es el radio de curvatura de su trayectoria?

Solución

Utilizando las fórmulas estudiadas en la teoría (descripción vectorial de un movimiento circular cuyo eje de giro pasa por el origen de coordenadas), podemos determinar la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}\,} , la aceleración tangencial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_t\,} y la aceleración normal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_n\,} en el instante de interés:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}=\left|\!\!\begin{array}{rrc}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 4 & -3 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \end{array}\right|=5\,\vec{k} \,\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, v=|\,\vec{v}\,|=5 \,\,\mathrm{m}/\mathrm{s} }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_t=\vec{\alpha}\times\vec{r}=\left|\!\!\begin{array}{rrc}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -8 & 6 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \end{array}\right|=-10\,\vec{k} \,\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, a_t=\vec{a}_t\cdot\vec{v}/v=-10 \,\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2 }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_n=\vec{\omega}\,\times\,\vec{v}=\left|\!\!\begin{array}{rrc}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 4 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right|=(-\,15\,\vec{\imath}\,-\,20\,\vec{\jmath}\,) \,\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, a_n=|\,\vec{a}_n\,|=25 \,\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2 }

Por tanto, la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\,} de la partícula en dicho instante vale:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=\vec{a}_t+\vec{a}_n=(-\,15\,\vec{\imath}\,-\,20\,\vec{\jmath}\,-\,10\,\vec{k}\,) \,\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2 }

Y el radio de curvatura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_{\kappa}\,} de su trayectoria (constante, por tratarse de una circunferencia) vale:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_{\kappa}=\displaystyle\frac{v^2}{a_n}=\frac{v}{|\,\vec{\omega}\,|}=1 \,\,\mathrm{m} }