No Boletín - Descripción vectorial de un movimiento circular (Ex.Nov/16)

Enunciado

Desde un triedro cartesiano $OXYZ\,$, se observa el movimiento circular de una partícula $P\,$ cuyo eje de giro pasa por el origen de coordenadas $O\,$. En cierto instante, los vectores de posición, velocidad angular y aceleración angular de $P\,$ valen:

${\vec {r}}={\overrightarrow {OP}}=(-\,{\vec {\imath }}\,+\,2\,{\vec {\jmath }}\,\,)\,\,\mathrm {m} \,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\omega }}=(4\,{\vec {\imath }}\,-\,3\,{\vec {\jmath }}\,\,)\,\,\mathrm {rad} /\mathrm {s} \,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\alpha }}=(-\,8\,{\vec {\imath }}\,+\,6\,{\vec {\jmath }}\,\,)\,\,\mathrm {rad} /\mathrm {s} ^{2}$

1. ¿Cuánto vale la aceleración de la partícula en dicho instante?
2. ¿Cuál es el radio de curvatura de su trayectoria?

Solución

Utilizando las fórmulas estudiadas en la teoría (descripción vectorial de un movimiento circular cuyo eje de giro pasa por el origen de coordenadas), podemos determinar la velocidad ${\vec {v}}\,$, la aceleración tangencial ${\vec {a}}_{t}\,$ y la aceleración normal ${\vec {a}}_{n}\,$ en el instante de interés:

${\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}=\left|\!\!{\begin{array}{rrc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\4&-3&0\\-1&2&0\end{array}}\right|=5\,{\vec {k}}\,\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,v=|\,{\vec {v}}\,|=5\,\,\mathrm {m} /\mathrm {s}$

${\vec {a}}_{t}={\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}=\left|\!\!{\begin{array}{rrc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-8&6&0\\-1&2&0\end{array}}\right|=-10\,{\vec {k}}\,\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,a_{t}={\vec {a}}_{t}\cdot {\vec {v}}/v=-10\,\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$

${\vec {a}}_{n}={\vec {\omega }}\,\times \,{\vec {v}}=\left|\!\!{\begin{array}{rrc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\4&-3&0\\0&0&5\end{array}}\right|=(-\,15\,{\vec {\imath }}\,-\,20\,{\vec {\jmath }}\,)\,\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,a_{n}=|\,{\vec {a}}_{n}\,|=25\,\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$

Por tanto, la aceleración ${\vec {a}}\,$ de la partícula en dicho instante vale:

${\vec {a}}={\vec {a}}_{t}+{\vec {a}}_{n}=(-\,15\,{\vec {\imath }}\,-\,20\,{\vec {\jmath }}\,-\,10\,{\vec {k}}\,)\,\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$

Y el radio de curvatura $R_{\kappa }\,$ de su trayectoria (constante, por tratarse de una circunferencia) vale:

$R_{\kappa }=\displaystyle {\frac {v^{2}}{a_{n}}}={\frac {v}{|\,{\vec {\omega }}\,|}}=1\,\,\mathrm {m}$