No Boletín - Movimiento en espiral descrito en polares III (Ex.Nov/16)

Enunciado

El movimiento de cierta partícula en el plano $OXY\,$ viene dado en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:

$\rho \,(t)=\rho _{0}\,e^{\Omega \,t}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\theta \,(t)=\Omega t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(siendo} \,\,\rho _{0}\,\,\mathrm {y} \,\,\Omega \,\,\mathrm {constantes} \,\,\mathrm {positivas} \,\,\mathrm {conocidas)}$

1. Al expresar en la base polar la velocidad (${\vec {v}}=v_{\rho }\,{\vec {u}}_{\rho }+v_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }\,$) y la aceleración (${\vec {a}}=a_{\rho }\,{\vec {u}}_{\rho }+a_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }\,$) de la citada partícula, una de las cuatro componentes resulta ser nula en todo instante de tiempo. ¿Cuál de ellas?
2. Determine el vector normal ${\vec {N}}\,$ del triedro intrínseco de la trayectoria de la partícula.

Velocidad y aceleración en la base polar

La velocidad y la aceleración de la partícula en la base polar vienen dadas por la expresiones:

${\begin{array}{l}{\vec {v}}={\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\\\\{\vec {a}}=\left({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\theta }}^{\,2}\right){\vec {u}}_{\rho }+\left(2{\dot {\rho }}\,{\dot {\theta }}+\rho \,{\ddot {\theta }}\,\right){\vec {u}}_{\theta }\end{array}}$

Por tanto, calculamos las derivadas primera y segunda respecto al tiempo de las ecuaciones horarias:

${\dot {\rho }}=\Omega \rho$  ;      ${\ddot {\rho }}=\Omega ^{\,2}\!\rho$  ;      ${\dot {\theta }}=\Omega$  ;      ${\ddot {\theta }}=0$

y, sustituyendo en las expresiones de arriba, obtenemos la velocidad de la partícula, su celeridad (módulo de la velocidad) y su aceleración:

${\begin{array}{l}{\vec {v}}=\Omega \rho \,{\vec {u}}_{\rho }+\Omega \rho \,{\vec {u}}_{\theta }\,\,\longrightarrow \,\,v=|{\vec {v}}\,|={\sqrt {2}}\,\Omega \rho \\\\{\vec {a}}=2\,\Omega ^{2}\rho \,{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}$

Observamos, pues, que la componente nula en todo instante de tiempo es la aceleración radial $a_{\rho }\,$.

Vector normal del triedro intrínseco

El vector tangente se obtiene por normalización del vector velocidad:

${\vec {T}}={\frac {\vec {v}}{v}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,({\vec {u}}_{\rho }+{\vec {u}}_{\theta })$

La componente tangencial de la aceleración podemos obtenerla derivando la celeridad respecto al tiempo:

$a_{t}={\dot {v}}={\sqrt {2}}\,\Omega {\dot {\rho }}={\sqrt {2}}\,\Omega ^{\,2}\rho$

Ahora determinamos el vector aceleración normal (restándole el vector aceleración tangencial al vector aceleración):

${\vec {a}}_{n}={\vec {a}}-{\vec {a}}_{t}={\vec {a}}-a_{t}\,{\vec {T}}=2\,\Omega ^{\,2}\rho \,{\vec {u}}_{\theta }-{\sqrt {2}}\,\Omega ^{\,2}\rho \,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,({\vec {u}}_{\rho }+{\vec {u}}_{\theta })=\Omega ^{\,2}\!\rho \,(-\,{\vec {u}}_{\rho }+{\vec {u}}_{\theta })$

Finalmente, el vector normal se puede obtener por normalización del vector aceleración normal:

${\vec {N}}={\frac {{\vec {a}}_{n}}{|\,{\vec {a}}_{n}\,|}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,(-\,{\vec {u}}_{\rho }+{\vec {u}}_{\theta })$

Pero éste no es el único procedimiento posible para determinar el vector normal. Otra opción más directa consiste en obtenerlo por normalización de la derivada del vector tangente respecto a cualquier parámetro (por ejemplo, respecto a $\theta \,$):

${\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,(-\,{\vec {u}}_{\rho }+{\vec {u}}_{\theta })\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {N}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}/\mathrm {d} \theta }{|\,\mathrm {d} {\vec {T}}/\mathrm {d} \theta \,|}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,(-\,{\vec {u}}_{\rho }+{\vec {u}}_{\theta })$

donde se ha utilizado que, según se vio en la teoría, las derivadas respecto a $\theta \,$ de los vectores de la base polar valen:

${\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{\rho }}{\mathrm {d} \theta }}={\vec {u}}_{\theta }\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{\theta }}{\mathrm {d} \theta }}=-\,{\vec {u}}_{\rho }$

Un tercer procedimiento para calcular el vector normal es obtenerlo como producto vectorial del vector binormal y el vector tangente. Para lo cual, necesitamos determinar previamente el vector binormal (normalizando el producto vectorial de la velocidad y la aceleración de la partícula):

${\vec {v}}\,\times \,{\vec {a}}=2\,\Omega ^{\,3}\rho ^{2}\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {u}}_{\rho }&{\vec {u}}_{\theta }&{\vec {k}}\\1&1&0\\0&1&0\end{array}}\right|=2\,\Omega ^{\,3}\rho ^{2}\,{\vec {k}}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {B}}={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {a}}}{|\,{\vec {v}}\times {\vec {a}}\,|}}={\vec {k}}\,\,\,;$ $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {N}}={\vec {B}}\,\times \,{\vec {T}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {u}}_{\rho }&{\vec {u}}_{\theta }&{\vec {k}}\\0&0&1\\1&1&0\end{array}}\right|={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,(-\,{\vec {u}}_{\rho }\,+\,{\vec {u}}_{\theta })$

Nota: Obsérvese que la base $\{{\vec {u}}_{\rho },{\vec {u}}_{\theta },{\vec {k}}\}\,$ (denominada base cilíndrica) es ortonormal dextrógira, y por ese motivo los productos vectoriales de vectores expresados en la misma se realizan de forma análoga a como se realizan los productos vectoriales de vectores expresados en base cartesiana.