No Boletín - Movimiento en espiral descrito en polares III (Ex.Nov/16)

Enunciado

El movimiento de cierta partícula en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY\,} viene dado en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:

$\rho \,(t)=\rho _{0}\,e^{\Omega \,t}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\theta \,(t)=\Omega t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(siendo} \,\,\rho _{0}\,\,\mathrm {y} \,\,\Omega \,\,\mathrm {constantes} \,\,\mathrm {positivas} \,\,\mathrm {conocidas)}$

1. Al expresar en la base polar la velocidad (${\vec {v}}=v_{\rho }\,{\vec {u}}_{\rho }+v_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }\,$) y la aceleración (${\vec {a}}=a_{\rho }\,{\vec {u}}_{\rho }+a_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }\,$) de la citada partícula, una de las cuatro componentes resulta ser nula en todo instante de tiempo. ¿Cuál de ellas?
2. Determine el vector normal ${\vec {N}}\,$ del triedro intrínseco de la trayectoria de la partícula.

Velocidad y aceleración en la base polar

La velocidad y la aceleración de la partícula en la base polar vienen dadas por la expresiones:

${\begin{array}{l}{\vec {v}}={\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\\\\{\vec {a}}=\left({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\theta }}^{\,2}\right){\vec {u}}_{\rho }+\left(2{\dot {\rho }}\,{\dot {\theta }}+\rho \,{\ddot {\theta }}\,\right){\vec {u}}_{\theta }\end{array}}$

Por tanto, calculamos las derivadas primera y segunda respecto al tiempo de las ecuaciones horarias:

${\dot {\rho }}=\Omega \rho$  ;      Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\rho}=\Omega^{\, 2}\!\rho}   ;      Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}=\Omega}   ;      Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta}=0}

y, sustituyendo en las expresiones de arriba, obtenemos la velocidad de la partícula, su celeridad (módulo de la velocidad) y su aceleración:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v} = \Omega\rho\,\vec{u}_{\rho}+\Omega\rho\,\vec{u}_{\theta} \,\,\longrightarrow\,\, v=|\vec{v}\,|=\sqrt{2}\,\Omega\rho \\ \\ \vec{a}=2\,\Omega^2\rho\,\vec{u}_{\theta} \end{array} }

Observamos, pues, que la componente nula en todo instante de tiempo es la aceleración radial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_{\rho}\,} .

Vector normal del triedro intrínseco

El vector tangente se obtiene por normalización del vector velocidad:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}=\frac{\vec{v}}{v}=\frac{1}{\sqrt{2}}\,(\vec{u}_{\rho}+\vec{u}_{\theta}) }

La componente tangencial de la aceleración podemos obtenerla derivando la celeridad respecto al tiempo:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t=\dot{v}=\sqrt{2}\,\Omega\dot{\rho}=\sqrt{2}\,\Omega^{\, 2}\rho }

Ahora determinamos el vector aceleración normal (restándole el vector aceleración tangencial al vector aceleración):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_n=\vec{a}-\vec{a}_t=\vec{a}-a_t\,\vec{T}=2\,\Omega^{\, 2}\rho\,\vec{u}_{\theta}-\sqrt{2}\,\Omega^{\, 2}\rho\,\frac{1}{\sqrt{2}}\,(\vec{u}_{\rho}+\vec{u}_{\theta})=\Omega^{\, 2}\!\rho\,(-\,\vec{u}_{\rho}+\vec{u}_{\theta}) }

Finalmente, el vector normal se puede obtener por normalización del vector aceleración normal:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{|\,\vec{a}_n\,|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\,(-\,\vec{u}_{\rho}+\vec{u}_{\theta}) }

Pero éste no es el único procedimiento posible para determinar el vector normal. Otra opción más directa consiste en obtenerlo por normalización de la derivada del vector tangente respecto a cualquier parámetro (por ejemplo, respecto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} ):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}\,(-\,\vec{u}_{\rho}+\vec{u}_{\theta})\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{N}=\frac{\mathrm{d}\vec{T}/\mathrm{d}\theta}{|\,\mathrm{d}\vec{T}/\mathrm{d}\theta\,|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\,(-\,\vec{u}_{\rho}+\vec{u}_{\theta}) }

donde se ha utilizado que, según se vio en la teoría, las derivadas respecto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} de los vectores de la base polar valen:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\vec{u}_{\rho}}{\mathrm{d}\theta}=\vec{u}_{\theta}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \frac{\mathrm{d}\vec{u}_{\theta}}{\mathrm{d}\theta}=-\,\vec{u}_{\rho} }

Un tercer procedimiento para calcular el vector normal es obtenerlo como producto vectorial del vector binormal y el vector tangente. Para lo cual, necesitamos determinar previamente el vector binormal (normalizando el producto vectorial de la velocidad y la aceleración de la partícula):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}\,\times\,\vec{a}=2\,\Omega^{\, 3}\rho^2\left|\begin{array}{ccc}\vec{u}_{\rho} & \vec{u}_{\theta} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right|=2\,\Omega^{\, 3}\rho^2\,\vec{k}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{B}=\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\,\vec{v}\times\vec{a}\,|}=\vec{k}\,\,\,;} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{N}=\vec{B}\,\times\,\vec{T}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|\begin{array}{ccc}\vec{u}_{\rho} & \vec{u}_{\theta} & \vec{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}\,(-\,\vec{u}_{\rho}\,+\,\vec{u}_{\theta}) }

Nota: Obsérvese que la base Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{u}_{\rho}, \vec{u}_{\theta}, \vec{k}\}\,} (denominada base cilíndrica) es ortonormal dextrógira, y por ese motivo los productos vectoriales de vectores expresados en la misma se realizan de forma análoga a como se realizan los productos vectoriales de vectores expresados en base cartesiana.