No Boletín - Celeridad, aceleración tangencial y radio de curvatura (Ex.Oct/14)

Enunciado

En el plano OXY, una partícula $P\,$ se mueve conforme a la ecuación horaria:

${\overrightarrow {OP}}\equiv {\vec {r}}(t)=A\,\mathrm {sen} (\Omega t)\,{\vec {\imath }}\,-\,{\frac {A}{2}}\,\mathrm {cos} (2\,\Omega t)\,{\vec {\jmath }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(} A\,\mathrm {y} \,\Omega \,\,\mathrm {son} \,\,\mathrm {constantes} \,\,\mathrm {conocidas)}$

Las tres preguntas siguientes se refieren al instante $t=\displaystyle {\frac {\pi }{6\,\Omega }}\,$.

1. ¿Cuál es la celeridad de la partícula en dicho instante?
2. ¿Cuánto vale la componente tangencial de su aceleración en dicho instante?
3. ¿Cuál es el radio de curvatura de su trayectoria en dicho instante?

Velocidad y aceleración en el instante analizado

Derivando el vector de posición de la partícula respecto al tiempo una y dos veces, obtenemos -respectivamente- la velocidad y la aceleración en función del tiempo:

${\vec {v}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}=\Omega A\,[\,\mathrm {cos} (\Omega t)\,{\vec {\imath }}\,\,+\,\,\mathrm {sen} (2\,\Omega t)\,{\vec {\jmath }}\,\,]\,\,;\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=\Omega ^{2}A\,[-\,\mathrm {sen} (\Omega t)\,{\vec {\imath }}\,\,+\,\,2\,\mathrm {cos} (2\,\Omega t)\,{\vec {\jmath }}\,\,]$

Y evaluando para el instante $t=\displaystyle {\frac {\pi }{6\,\Omega }}\,$, obtenemos los correspondientes valores de la velocidad y la aceleración:

${\vec {v}}={\frac {{\sqrt {3}}\,\Omega A}{2}}\,(\,{\vec {\imath }}\,\,+\,{\vec {\jmath }}\,\,)\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}={\frac {\Omega ^{2}A}{2}}\,(-\,{\vec {\imath }}\,+\,2\,{\vec {\jmath }}\,\,)$

Celeridad

La celeridad en el citado instante es el módulo de la velocidad:

$v=|{\vec {v}}\,|={\frac {{\sqrt {3}}\,\Omega A}{2}}\,{\sqrt {1^{2}+1^{2}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}\,\Omega A$

Aceleración tangencial

La aceleración tangencial en el instante estudiado puede calcularse a partir de la velocidad y la aceleración mediante la fórmula:

$a_{t}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {a}}}{v}}=\left({\frac {{\sqrt {3}}\,\Omega A}{2}}\right)\left({\frac {\Omega ^{2}A}{2}}\right){\frac {(\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\,\,)\cdot (-\,{\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}\,\,)}{\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{2}}}\,\Omega A}}={\frac {\sqrt {2}}{4}}\,\Omega ^{2}A$

NOTA: La aceleración tangencial también puede calcularse como derivada temporal de la celeridad, pero para ello necesitamos determinar previamente la celeridad como función del tiempo. Nótese que la celeridad que se nos pidió y calculamos en el apartado anterior fue la celeridad en un instante concreto. Por eso, sería un disparate tratar de calcular la aceleración tangencial derivando respecto al tiempo la "celeridad constante" del apartado anterior, ya que no se trata en realidad de una "función constante" sino del valor que toma una función en un instante concreto. En el presente ejercicio, no detallaremos el cálculo correcto de la aceleración tangencial mediante derivación temporal de la celeridad porque resulta algo tedioso.

Radio de curvatura

Calculamos ahora la aceleración normal de la partícula en el instante analizado:

$a_{n}={\sqrt {|\,{\vec {a}}\,|^{2}-(a_{t})^{2}}}={\sqrt {\left(\displaystyle {\frac {\sqrt {5}}{2}}\,\Omega ^{2}A\right)^{2}-\left({\frac {\sqrt {2}}{4}}\,\Omega ^{2}A\right)^{2}}}=\Omega ^{2}A\,{\sqrt {{\frac {5}{4}}-{\frac {2}{16}}}}={\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\,\Omega ^{2}A$

donde hemos introducido el valor del módulo de la aceleración:

$|\,{\vec {a}}\,|={\frac {\Omega ^{2}A}{2}}\,{\sqrt {(-1)^{2}+2^{2}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\,\Omega ^{2}A$

Y a partir de la aceleración normal y la celeridad, obtenemos el valor del radio de curvatura en el instante objeto de estudio:

$R_{\kappa }={\frac {v^{2}}{a_{n}}}={\frac {\left({\sqrt {\displaystyle {\frac {3}{2}}}}\,\Omega A\right)^{2}}{\displaystyle {\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\,\Omega ^{2}A}}={\sqrt {2}}\,A$