No Boletín - Persecución en el eje OX (Ex.Oct/19)

Enunciado

Un coche circula por una carretera rectilínea (eje OX) con una velocidad constante de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 30\,\vec{\imath}\,\,\mathrm{m/s}\,} , y en cierto instante pasa por el lado de un motorista que se encuentra parado en el arcén. Transcurrido un tiempo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\,\,\mathrm{s}\,} desde que pasó por su lado, el motorista inicia la persecución del coche, que realiza del siguiente modo: partiendo del reposo, mantiene una aceleración constante de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 6\,\vec{\imath}\,\,\mathrm{m/s}^2\,} hasta el instante en el que alcanza una velocidad de $48\,{\vec {\imath }}\,\,\mathrm {m/s} \,$ , instante a partir del cual mantiene constante dicha velocidad.

1. ¿Cuánto tiempo transcurre desde el inicio de la persecución hasta que el motorista alcanza al coche?
2. ¿Qué longitud total habrá recorrido el motorista cuando alcance al coche?

Cuestiones previas

Dado que el coche y el motorista realizan movimientos rectilíneos sobre el eje OX, prescindiremos del carácter vectorial de sus magnitudes cinemáticas. Por tanto, describiremos sus posiciones mediante las coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_C\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_M\,} , sus velocidades mediante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{x}_C\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{x}_M\,} , y sus aceleraciones mediante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{x}_C\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{x}_M\,} .

Consideraremos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=0\,\,} es la posición en la cual el motorista se encuentra inicialmente parado, y que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0\,\,} es el instante en el cual el motorista inicia la persecución del coche.

Los instantes relevantes del problema son los siguientes:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lll} t=-2\,\,\mathrm{s} & \,\longrightarrow\,\,\, & \mathrm{el}\,\,\mathrm{coche}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por}\,\,\mathrm{el}\,\,\mathrm{lado}\,\,\mathrm{del}\,\,\mathrm{motorista}\,\,\mathrm{en}\,\,\mathrm{la}\,\,\mathrm{posicion}\,\, x=0 \\ \\ t=0 & \,\longrightarrow\,\,\, & \mathrm{el}\,\,\mathrm{motorista}\,\,\mathrm{inicia}\,\,\mathrm{la}\,\,\mathrm{persecucion}\,\,\mathrm{del}\,\,\mathrm{coche} \,\,\mathrm{partiendo}\,\,\mathrm{del}\,\,\mathrm{reposo}\,\,\mathrm{en}\,\,\mathrm{la}\,\,\mathrm{posicion}\,\, x=0 \\ \\ t=t_1 & \,\longrightarrow\,\,\, & \mathrm{el}\,\,\mathrm{motorista}\,\,\mathrm{cambia}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{su}\,\,\mathrm{inicial}\,\,\,\mathrm{m.r.u.a.}\,\,\,\mathrm{a}\,\,\mathrm{un}\,\,\,\mathrm{m.r.u.}\,\,\mathrm{en}\,\,\mathrm{cierta}\,\,\mathrm{posicion}\,\, x=x_1 \\ \\ t=t_2 & \,\longrightarrow\,\,\, & \mathrm{el}\,\,\mathrm{motorista}\,\,\mathrm{alcanza}\,\,\mathrm{al}\,\,\mathrm{coche}\,\,\mathrm{en}\,\,\mathrm{cierta}\,\,\mathrm{posicion}\,\, x=x_2 \end{array} }

Conforme al enunciado, el coche realiza en todo instante un movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.), mientras que el motorista tiene una primera etapa (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0\leq t\leq t_1\,} ) de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) y una segunda etapa (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_1\leq t\leq t_2\,} ) de movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.).

Tanto el m.r.u. como el m.r.u.a. son movimientos elementales, y por ello utilizaremos sus ecuaciones sin necesidad de deducirlas. En general, son las siguientes:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \mathrm{m.r.u.}: & \dot{x}=v\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\, x(t)=x_0+v\,(t-t_0) \\ \\ \mathrm{m.r.u.a.}: & \ddot{x}=a\,\,\mathrm{(cte)} \,\,\,\longrightarrow\,\,\, \dot{x}(t)=\dot{x}_0+a\,(t-t_0)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,x(t)=x_0+\dot{x}_0\,(t-t_0)+\displaystyle\frac{1}{2}\,a\,(t-t_0)^2 \end{array} }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_0\,} es el instante inicial del movimiento, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_0=x(t_0)\,} es la posición inicial del móvil, y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{x}_0=\dot{x}(t_0)\,} es su velocidad inicial.

Cinemática del coche y del motorista

La posición del coche queda definida en todo instante por la ecuación horaria:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_C(t)=30\,(t+2)\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(unidades}\,\,\mathrm{del}\,\,\mathrm{SI)} }

que corresponde a un m.r.u. con instante inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_0=-2\,\mathrm{s}\,} , posición inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_0=0\,\,} y velocidad constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v=30\,\mathrm{m/s}\,} .

El movimiento del motorista en su primera etapa (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0\leq t\leq t_1\,} ) viene caracterizado por las ecuaciones:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{x}_M(t)=6\,t\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x_M(t)=3\,t^2\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(unidades}\,\,\mathrm{del}\,\,\mathrm{SI)} }

que corresponden a un m.r.u.a. con instante inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_0=0\,} , posición inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_0=0\,} , velocidad inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{x}_0=0\,} (reposo inicial) y aceleración constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a=6\,\mathrm{m/s}^2\,} .

Podemos entonces determinar el instante final Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=t_1\,} de esta primera etapa del movimiento del motorista porque sabemos que termina cuando su velocidad es igual a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 48\,\mathrm{m/s}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{x}_M(t_1)=6\,t_1=48\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\, t_1=\frac{48}{6}=8\,\mathrm{s} }

Entonces, la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=x_1\,} del motorista al final de la primera etapa de su movimiento e inicio de la segunda etapa del mismo es:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1=x_M(t_1)=3\,t_1^2=3\,(8^2)=192\,\mathrm{m} }

En consecuencia, la posición del motorista durante la segunda etapa de su movimiento (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_1\leq t\leq t_2\,} ) viene dada por la ecuación horaria:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_M(t)=192+48\,(t-8) }

que corresponde a un m.r.u. con instante inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_0=t_1=8\,\mathrm{s}\,} , posición inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_0=x_1=192\,\mathrm{m}\,} y velocidad constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v=48\,\mathrm{m/s}\,} .

Respuesta a las dos preguntas formuladas

Para poder determinar el instante en el cual el motorista alcanza al coche, necesitamos saber en qué etapa de su movimiento ocurre tal cosa. Si comparamos la posición ya calculada del motorista en el instante final de la primera etapa de su movimiento [Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_M(t_1)=192\,\mathrm{m}\,} ] con la posición del coche en dicho instante [Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_C(t_1)=30\,(t_1+2)=30\,(8+2)=300\,\mathrm{m}\,} ] , comprobamos que aún no lo ha alcanzado y que, por tanto, lo hará durante la segunda etapa de su movimiento.

Así que, igualando las posiciones del motorista (segunda etapa de su movimiento) y del coche, determinamos el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=t_2\,\,} en el cual el motorista alcanza al coche:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_M(t_2)=x_C(t_2) \,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\, 192+48\,(t_2-8)=30\,(t_2+2) \,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\, 18\,t_2=252 \,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\, t_2=\frac{252}{18}=14\,\mathrm{s} }

Al haber considerado que la persecución se inició en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0\,} , la respuesta a la primera pregunta del ejercicio coincide precisamente con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_2\,} . Por tanto, el tiempo transcurrido desde el inicio de la persecución hasta que el motorista alcanza al coche es de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 14\,\mathrm{s}\,} .

Finalmente, determinamos la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=x_2\,} del motorista en el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=t_2\,} en el cual da alcance al coche:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_2=x_M(t_2)=192+48\,(t_2-8)=192+48\,(14-8)=480\,\mathrm{m} }

Al haber considerado que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=0\,\,\,} corresponde a la posición en la cual el motorista se encontraba inicialmente parado, la respuesta a la segunda pregunta del ejercicio coincide precisamente con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_2\,} . Por tanto, la longitud total que habrá recorrido el motorista cuando alcance al coche es de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 480\,\mathrm{m}\,} .