Movimiento circular en torno a un eje oblicuo

Enunciado

Una partícula gira alrededor de un eje que pasa por el origen de coordenadas y está orientado según la dirección y el sentido del vector ${\vec {c}}={\vec {\imath }}+2{\vec {\jmath }}+2{\vec {k}}$. La aceleración angular de este movimiento es constante y de módulo 1 rad/s². La velocidad angular inicial es nula. Si en $t=2\,\mathrm {s}$ la partícula se encuentra en ${\vec {r}}=(-{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+4{\vec {k}})\,\mathrm {m}$ calcule, para este instante

1. La velocidad y la aceleración.
2. Las componentes intrínsecas de la aceleración.

Velocidad y aceleración

Velocidad

La velocidad de una partícula que describe un movimiento circular en torno a un eje puede escribirse en la forma

${\vec {v}}={\vec {\omega }}\times ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{e})$

siendo ${\vec {r}}_{e}$ un punto del eje de giro (no necesariamente el centro de la circunferencia). De acuerdo con el enunciado, podemos tomar este punto como el origen de coordenadas

${\vec {r}}_{e}={\vec {0}}$

La velocidad angular la hallamos sabiendo que la aceleración angular es constante (se trata de un movimiento uniformemente acelerado)

${\vec {\omega }}={\vec {\alpha }}\,t$

La aceleración angular (suponiendo que su sentido es el mismo que el del vector ${\vec {c}}$) es

${\vec {\alpha }}=\alpha {\frac {\vec {c}}{|{\vec {c}}|}}=\left({\frac {1}{3}}{\vec {\imath }}+{\frac {2}{3}}{\vec {\jmath }}+{\frac {2}{3}}{\vec {k}}\right)\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

por lo que en $t=2\,\mathrm {s}$ la velocidad angular vale

${\vec {\omega }}=\left({\frac {2}{3}}{\vec {\imath }}+{\frac {4}{3}}{\vec {\jmath }}+{\frac {4}{3}}{\vec {k}}\right)\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

Multiplicando vectorialmente por el vector de posición obtenemos la velocidad

${\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}={\frac {1}{3}}\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&4&4\\-1&1&4\end{matrix}}\right|{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=\left(4{\vec {\imath }}-4{\vec {\jmath }}+2{\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Aceleración

La aceleración en un movimiento circular se compone de un término asociado a la velocidad angular y otro a la aceleración angular.

${\vec {a}}={\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\right)={\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}$

Calculándolos por separado, tenemos, para el primer término

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}\times\vec{r}= \frac{1}{3}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ -1 & 1 & 4\end{matrix}\right|\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = \left(2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+1\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}

y para el segundo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}\times\vec{v}= \frac{1}{3}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 4 & 4 \\ 4 & -4 & 2\end{matrix}\right|\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = \left(8\vec{\imath}+4\vec{\jmath}-8\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}

Sumando las dos contribuciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=\left(2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+1\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} + \left(8\vec{\imath}+4\vec{\jmath}-8\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = \left(10\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-7\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}

Componentes de la aceleración

La aceleración de la partícula se compone de dos sumandos. Uno es claramente perpendicular a la velocidad, mientras que el otro es paralelo a ella, por ser la velocidad angular y la aceleración angular vectores paralelos. Por tanto, tenemos

Aceleración tangencial

El vector aceleración tangencial corresponde al término

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_t = \vec{\alpha}\times\vec{r}= \left(2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+1\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}

siendo la componente tangencial de la aceleración

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t = \left|\vec{a}_t\right| = 3\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}

NOTA: Calcular $a_{t}$ como el módulo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_t} sólo se puede hacer cuando se tiene certeza de que la aceleración tangencial es positiva (movimiento acelerado), lo cual ocurre en este caso dado que los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}} tienen el mismo sentido. En caso de duda sobre el signo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t} , ésta tendrá que calcularse como el producto escalar de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}} (o bien Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_t} ) por el vector unitario tangente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}/v} .

Aceleración normal

El vector aceleración normal lo da el término perpendicular a la velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_n = \vec{\omega}\times\vec{v}= \left(8\vec{\imath}+4\vec{\jmath}-8\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}

siendo su módulo

$a_{n}=\left|{\vec {a}}_{n}\right|=12\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$