No Boletín - Cuestión sobre radio de curvatura (Ex.Oct/15)

Enunciado

Una partícula, que se hallaba en reposo en el instante inicial (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0\,} ), se mueve de tal modo que su aceleración tangencial y su aceleración normal son ambas constantes no nulas:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t(t)=C_1\neq 0\,;\,\,\,\,\,\,\,\,a_n(t)=C_2\neq 0 }

¿Cómo evoluciona el radio de curvatura de la trayectoria de esta partícula? (NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta).

(a) Es constante.

(b) Aumenta linealmente con el tiempo.

(c) Aumenta cuadráticamente con el tiempo.

(d) Aumenta cúbicamente con el tiempo.

Solución

La aceleración tangencial de una partícula viene dada por la derivada temporal de su celeridad. Así que, conocida la aceleración tangencial en todo instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,a_t(t)=C_1\,} y conocida la celeridad en el instante inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,v(0)=0\,} (nula por hallarse la partícula en reposo), podemos determinar la celeridad para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,t>0\,} integrando la aceleración tangencial entre el instante inicial y un instante genérico:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=a_t=C_1 \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \mathrm{d}v=C_1\,\mathrm{d}t \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \int_{v(0)}^{\, v(t)}\!\mathrm{d}v=C_1\!\int_{0}^{\, t}\!\mathrm{d}t \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, v(t)=C_1\, t }

Por otra parte, la aceleración normal de una partícula viene dada por el cociente entre el cuadrado de su celeridad y el radio de curvatura de su trayectoria. Así que, conocidas en todo instante la celeridad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,v(t)=C_1\, t\,} y la aceleración normal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_n(t)=C_2,\,} podemos determinar el radio de curvatura de la trayectoria como función del tiempo:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{v^2}{R_{\kappa}}=a_n=C_2 \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, R_{\kappa}=\frac{v^2}{C_2}=\frac{(C_1)^2}{C_2}\,t^2 }

Observamos que, en el caso que nos ocupa, el radio de curvatura aumenta cuadráticamente con el tiempo. La respuesta correcta es la (c).