No Boletín - Bólido con m.c.u. (Ex.Nov/12)

Enunciado

La gravedad media en la superficie terrestre (g = 9.80665 m/s$^{2}$) es utilizada a veces como unidad de aceleración. Sea un bólido que recorre con celeridad constante un circuito circular de diámetro igual a 1500 yardas (1 yd = 0.9144 m) y que tarda exactamente 1 minuto en completar cada vuelta. ¿Cuánto vale la aceleración (en módulo) de dicho bólido expresada en la unidad g?

Solución

Se nos dice que el bólido recorre con celeridad constante un circuito circular. Por tanto, realiza un movimiento circular uniforme (m.c.u.), movimiento que ha sido estudiado en clase de forma específica. En un m.c.u., la aceleración sólo tiene componente normal (como en todo movimiento uniforme) y su módulo vale:

$|\,{\vec {a}}\,|=a_{n}=R\,\omega ^{2}$

donde $\,R\,$ es el radio de la circunferencia, y $\,\omega \,$ es la velocidad angular (escalar) del móvil.

A partir de aquí, el ejercicio queda reducido prácticamente a saber convertir unidades. El radio de la circunferencia es la mitad del diámetro facilitado, y vamos a pasarlo a unidades SI:

$R={\frac {1500}{2}}\,\mathrm {yd} \,\times \,{\frac {0.9144\,\mathrm {m} }{1\,\mathrm {yd} }}=685.8\,\mathrm {m}$

La velocidad angular es constante en un m.c.u., y la calculamos como el cociente entre el ángulo correspondiente a una vuelta y el tiempo que tarda el bólido en completar cada vuelta (todo en unidades SI):

$\omega ={\frac {2\pi \,\mathrm {rad} }{1\,\mathrm {min} }}\,\times \,{\frac {1\,\mathrm {min} }{60\,\mathrm {s} }}=0.1047\,\mathrm {rad/s}$

Finalmente, sustituimos los valores del radio y la velocidad angular en la expresión del módulo de la aceleración, y convertimos a unidades g:

$|\,{\vec {a}}\,|=R\,\omega ^{2}=685.8\,\mathrm {m} \,\times \,(0.1047\,\mathrm {rad/s} )^{2}\,\times \,{\frac {1\mathrm {g} }{9.80665\,\mathrm {m/s} ^{2}}}=0.77\,\mathrm {g}$