No Boletín - Aceleración a partir de ley horaria y radio de curvatura (Ex.Oct/14)

Enunciado

Una partícula recorre cierta curva parametrizada naturalmente, conociéndose la ley horaria y el valor del radio de curvatura (que es constante):

$s(t)=A\,\mathrm {ln} \left({\frac {t}{t_{0}}}\right)\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,R_{\kappa }(t)=A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(} A\,\,\mathrm {y} \,\,t_{0}\,\,\,\mathrm {son} \,\,\mathrm {constantes} \,\,\mathrm {positivas} \,\,\mathrm {dadas)}$

1. ¿Cuánto vale el módulo de su aceleración?
2. Los datos conocidos permiten saber con certeza que este movimiento es... (Nota: Sólo una opción es correcta)

$\mathrm {(A)} \,\,\mathrm {...retardado.} \,\,\,\,\,\mathrm {(B)} \,\,\mathrm {...circular.} \,\,\,\,\,\mathrm {(C)} \,\,\mathrm {...uniforme.} \,\,\,\,\,\mathrm {(D)} \,\,\mathrm {...helicoidal.}$

Solución

A partir de la ley horaria $s(t)\,$ y del radio de curvatura $R_{\kappa }(t)\,$, podemos calcular la celeridad $v\,$, la aceleración tangencial $a_{t}\,$ y la aceleración normal $a_{n}\,$ de la partícula:

$v={\dot {s}}={\frac {A}{t}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{t}={\dot {v}}=-\,{\frac {A}{t^{2}}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{n}={\frac {v^{2}}{R_{\kappa }}}={\frac {A}{t^{2}}}$

Y el conocimiento de $a_{t}\,$ y $a_{n}\,$ nos permite determinar el módulo de la aceleración de la partícula (primera cuestión del enunciado):

${\vec {a}}=a_{t}{\overrightarrow {T}}+a_{n}{\overrightarrow {N}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|\,{\vec {a}}\,|={\sqrt {a_{t}^{2}+a_{n}^{2}}}={\sqrt {{\frac {A^{2}}{t^{4}}}+{\frac {A^{2}}{t^{4}}}}}={\frac {{\sqrt {2}}A}{t^{2}}}$

Abordemos ahora la segunda cuestión del enunciado.

Lo único que sabemos de la trayectoria de la partícula es que tiene su radio de curvatura constante. Existen dos curvas con radio de curvatura constante: la circunferencia y la hélice. Así que descartamos las opciones (B) y (D), pues los datos conocidos indican que el movimiento es circular o helicoidal pero no tenemos certeza ni de que sea circular ni de que sea helicoidal.

Por otra parte, observamos que la celeridad de la partícula es variable en el tiempo y, por tanto, el movimiento no es uniforme, quedando también descartada la opción (C). Entonces, por eliminación, la opción correcta tiene que ser la opción (A). Y, en efecto, comprobamos que la aceleración tangencial de la partícula es negativa en todo instante, tal como corresponde a un movimiento retardado (de celeridad decreciente).