No Boletín - Identificación de movimiento III (Ex.Oct/13)

Enunciado

En el triedro cartesiano $OXYZ\,$, una partícula $P\,$ se mueve conforme a la ecuación horaria:

${\overrightarrow {OP}}\equiv {\vec {r}}(t)=A\,\mathrm {sen} (\omega t)\,\mathrm {cos} (\omega t)\,{\vec {\jmath }}+A\,\mathrm {cos} ^{2}(\omega t)\,{\vec {k}}$

donde $A\,$ y $\omega \,$ son constantes conocidas.

1. ¿Qué trayectoria sigue la partícula?
2. ¿Con qué tipo de movimiento es recorrida dicha trayectoria?

Solución

Esta cuestión se resuelve rápidamente si se utilizan las relaciones trigonométricas:

$\mathrm {sen} (\omega t)\,\mathrm {cos} (\omega t)={\frac {\mathrm {sen} (2\omega t)}{2}}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {cos} ^{2}(\omega t)={\frac {1+\mathrm {cos} (2\omega t)}{2}}$

que permiten reescribir la ecuación horaria de la partícula $P\,$ como:

${\overrightarrow {OP}}\equiv {\vec {r}}(t)={\frac {A}{2}}\,{\vec {k}}+\left[{\frac {A}{2}}\,\mathrm {sen} (2\omega t)\,{\vec {\jmath }}+{\frac {A}{2}}\,\mathrm {cos} (2\omega t)\,{\vec {k}}\,\right]$

Así escrita, la ecuación horaria es fácilmente reconocible como la del movimiento sobre una circunferencia contenida en el plano $OYZ\,$, con centro en el punto $C(0,0,A/2)\,$, con radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R=A/2\,} , y con ecuación vectorial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} -paramétrica:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP}\equiv\vec{r}(\theta)=\frac{A}{2}\,\vec{k}+\left[\frac{A}{2}\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}+\frac{A}{2}\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{k}\,\right] }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} es el ángulo formado por el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{CP}\,} y el eje $OZ\,$ (ver figura), y varía conforme a la ley horaria:

$\theta (t)=2\omega t\,$

La trayectoria es, por tanto, una circunferencia; y el tipo de movimiento con que se recorre ésta es un movimiento uniforme, ya que la celeridad $v\,$ de la partícula es constante en el tiempo:

${\dot {\theta }}=2\,\omega =\mathrm {cte} \,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,v=R\,{\dot {\theta }}={\frac {A}{2}}\,2\,\omega =\omega A=\mathrm {cte} \,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\mathrm {movimiento} \,\,\mathrm {uniforme}$

Solución alternativa

Un procedimiento alternativo menos directo consiste en ir analizando las características geométricas y cinemáticas del movimiento propuesto hasta lograr responder las preguntas formuladas.

Derivando el vector de posición de la partícula respecto al tiempo, obtenemos el vector velocidad:

${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}=\omega A\left\{\left[\mathrm {cos} ^{2}(\omega t)-\mathrm {sen} ^{2}(\omega t)\,\right]{\vec {\jmath }}-2\,\mathrm {sen} (\omega t)\,\mathrm {cos} (\omega t)\,{\vec {k}}\,\right\}=\omega A\left[\mathrm {cos} (2\omega t)\,{\vec {\jmath }}-\mathrm {sen} (2\omega t)\,{\vec {k}}\,\right]$

Y tomando el módulo de la velocidad, calculamos la celeridad:

$v=|{\vec {v}}\,|=\omega A{\sqrt {{\mbox{cos}}^{2}(2\omega t)+{\mbox{sen}}^{2}(2\omega t)}}=\omega A=\mathrm {cte} \,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\mathrm {movimiento} \,\,\mathrm {uniforme}$

Al ser la celeridad de la partícula constante, deducimos que se trata de un movimiento uniforme.

Derivando respecto al tiempo el vector velocidad, obtenemos el vector aceleración:

${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=-2\omega ^{2}\!A\left[\mathrm {sen} (2\omega t)\,{\vec {\jmath }}+\mathrm {cos} (2\omega t)\,{\vec {k}}\,\right]$

Al tratarse de un movimiento uniforme, la aceleración tangencial es nula:

$a_{t}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\omega A)}{\mathrm {d} t}}=0$

y entonces la aceleración normal (siempre positiva) coincide con el módulo del vector aceleración:

${\vec {a}}_{t}={\vec {0}}\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,{\vec {a}}_{n}={\vec {a}}\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,a_{n}=|\,{\vec {a}}\,|=2\,\omega ^{2}A$

Obtenemos el vector tangente a la trayectoria como un vector unitario en la dirección de la velocidad:

${\vec {T}}={\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}\,|}}=\mathrm {cos} (2\omega t)\,{\vec {\jmath }}-\mathrm {sen} (2\omega t)\,{\vec {k}}$

Dado que sabemos que toda la aceleración es normal (no existe componente tangencial), obtenemos el vector normal principal simplemente normalizando el vector aceleración:

${\vec {N}}={\frac {{\vec {a}}_{n}}{a_{n}}}={\frac {\vec {a}}{|\,{\vec {a}}\,|}}=-\,\mathrm {sen} (2\omega t)\,{\vec {\jmath }}-\,\mathrm {cos} (2\omega t)\,{\vec {k}}$

Ahora hallamos el vector binormal como producto vectorial del vector tangente y el vector normal principal:

${\vec {B}}={\vec {T}}\times {\vec {N}}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\0&\mathrm {cos} (2\omega t)&-\,\mathrm {sen} (2\omega t)\\0&-\,\mathrm {sen} (2\omega t)&-\,\mathrm {cos} (2\omega t)\end{array}}\right|=-\,{\vec {\imath }}={\overrightarrow {\mathrm {cte} }}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\mathrm {trayectoria} \,\,\mathrm {plana}$

Vemos que resulta un vector binormal constante, lo cual implica que la trayectoria de la partícula es plana.

Hallamos el radio de curvatura a partir de la celeridad y la aceleración normal:

$R_{\kappa }={\frac {v^{2}}{a_{n}}}={\frac {\omega ^{2}A^{2}}{2\,\omega ^{2}A}}={\frac {A}{2}}=\mathrm {cte}$

Observamos que el radio de curvatura resulta ser constante.

Dado que la trayectoria es plana y tiene radio de curvatura constante, llegamos a la conclusión de que se trata de una circunferencia.

Las dos preguntas del enunciado quedan, pues, respondidas si decimos que la partícula describe un movimiento circular uniforme.