No Boletín - Centro de curvatura y período de un circular uniforme (Ex.Oct/15)

Enunciado

Desde un triedro cartesiano $\,OXYZ\,$, se observa a una partícula que realiza un movimiento circular uniforme. Periódicamente, la partícula pasa por el punto $\,O\,$ (origen de coordenadas) con los siguientes valores instantáneos de velocidad y aceleración:

${\vec {v}}=(2\,{\vec {\imath }}+8\,{\vec {\jmath }}+16\,{\vec {k}}\,)\,\,\mathrm {m} /{\mbox{s}}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}=(4\,{\vec {\imath }}+7\,{\vec {\jmath }}-4\,{\vec {k}}\,)\,\,\mathrm {m} /{\mbox{s}}^{2}$

1. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de curvatura de la trayectoria?
2. ¿Cuál es el período del movimiento?

Centro de curvatura de la trayectoria

Que sea un movimiento uniforme significa que la celeridad de la partícula tiene valor constante a lo largo del tiempo. Y dicho valor constante de la celeridad podemos determinarlo calculando la celeridad con que la partícula pasa por el origen de coordenadas:

$v(t)=|\,2\,{\vec {\imath }}+8\,{\vec {\jmath }}+16\,{\vec {k}}\,|={\sqrt {2^{\,2}+8^{\,2}+16^{\,2}}}=18\,\,\mathrm {m} /\mathrm {s}$

Al moverse con celeridad constante, la partícula tiene aceleración tangencial nula (recuérdese que $\,a_{t}={\dot {v}}\,$) y, por tanto, toda su aceleración es aceleración normal:

$v(t)=18\,\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \,\,\mathrm {(cte)} \,\,\,\Longrightarrow \,\,\,a_{t}={\dot {v}}=0\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\vec {a}}_{t}=a_{t}\,{\overrightarrow {T}}={\vec {0}}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\vec {a}}=\underbrace {{\vec {a}}_{t}} _{=\,{\vec {0}}}\!+\,\,{\vec {a}}_{n}=a_{n}\,{\overrightarrow {N}}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,a_{n}=|\,{\vec {a}}\,|$

Además, al tratarse de un movimiento circular (radio de curvatura $\,R_{\kappa }\,$ constante), la aceleración normal de este movimiento uniforme también tiene valor constante a lo largo del tiempo (recuérdese que $\,a_{n}=v^{2}\!/R_{\kappa }\,$). Y dicho valor constante de la aceleración normal podemos determinarlo calculando la aceleración normal con que la partícula pasa por el origen de coordenadas:

$a_{n}(t)={\frac {v^{2}}{R_{\kappa }}}=|\,4\,{\vec {\imath }}+7\,{\vec {\jmath }}-4\,{\vec {k}}\,|={\sqrt {4^{\,2}+7^{\,2}+(-4)^{2}}}=9\,\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$

de donde podemos deducir el valor (constante) del radio de curvatura:

$R_{\kappa }={\frac {v^{2}}{a_{n}}}={\frac {18^{2}}{9}}=36\,\,\mathrm {m}$

Por otra parte, al ser aceleración normal toda la aceleración, podemos deducir el vector normal principal $\,{\overrightarrow {N}}\,$ de la trayectoria a su paso por el origen de coordenadas simplemente normalizando el vector aceleración en dicha posición:

${\overrightarrow {N}}={\frac {\vec {a}}{a_{n}}}={\frac {4\,{\vec {\imath }}+7\,{\vec {\jmath }}-4\,{\vec {k}}}{9}}={\frac {4}{9}}\,{\vec {\imath }}+{\frac {7}{9}}\,{\vec {\jmath }}-{\frac {4}{9}}\,{\vec {k}}$

La posición del centro de curvatura de la trayectoria (punto fijo por tratarse de una circunferencia) puede alcanzarse recorriendo desde el origen de coordenadas una longitud igual al radio de curvatura en la dirección y sentido del vector normal principal:

${\overrightarrow {OO_{\kappa }}}=R_{\kappa }\,{\overrightarrow {N}}=36\left(\,{\frac {4}{9}}\,{\vec {\imath }}+{\frac {7}{9}}\,{\vec {\jmath }}-{\frac {4}{9}}\,{\vec {k}}\,\right)=(\,16\,{\vec {\imath }}\,\,+\,28\,{\vec {\jmath }}\,\,-16\,{\vec {k}}\,)\,\,\mathrm {m} \,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,O_{\kappa }(16,28,-16)\,\,\mathrm {m}$

Período del movimiento

En la teoría se vio que un movimiento circular uniforme es un movimiento períodico con período $\,T=2\pi /\omega ,\,$ siendo $\,\omega \,$ la velocidad angular escalar del movimiento circular, la cual a su vez se puede obtener como el cociente entre la celeridad y el radio de curvatura ($\omega =v/R_{\kappa }\,$). Por tanto, el período del movimiento es:

$T={\frac {2\pi }{\omega }}={\frac {2\pi R_{\kappa }}{v}}={\frac {2\pi \cdot 36}{18}}=4\pi \,\,\mathrm {s}$