No Boletín - Adelantamiento entre vehículos (Ex.Nov/11)

Enunciado

Dos vehículos (A y B) avanzan por una misma carretera con celeridades variables en el tiempo pero tales que en todo instante se cumple que $\,v_{B}(t)=2\,v_{A}(t)$. El vehículo lento (A) va inicialmente por delante porque partió de un punto más adelantado. En cierto instante, y justo en una curva, el vehículo rápido (B) da alcance al lento (A). ¿Cuáles son las relaciones entre las respectivas aceleraciones tangenciales y entre las respectivas aceleraciones normales de ambos vehículos en el preciso instante del adelantamiento? ¿Son dichas relaciones necesariamente ciertas también para todo instante anterior o posterior al adelantamiento?

Aceleraciones tangenciales

La componente tangencial de la aceleración de cada vehículo viene dada por la derivada temporal de su celeridad:

$a_{t}={\dot {v}}$

Así que la relación entre las aceleraciones tangenciales de los vehículos A y B se deduce simplemente derivando respecto al tiempo la relación entre sus celeridades:

$v_{B}(t)=2\,v_{A}(t)\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,a_{t}^{B}(t)={\dot {v}}_{B}(t)=2\,{\dot {v}}_{A}(t)=2\,a_{t}^{A}(t)$

y observamos que esta relación obtenida, por la cual la aceleración tangencial del vehículo rápido es el doble de la aceleración tangencial del vehículo lento, tiene validez permanente, es decir, vale en el preciso instante del adelantamiento, pero también antes y después del mismo.

Aceleraciones normales

La componente normal de la aceleración de cada vehículo viene dada por el cociente entre el cuadrado de su celeridad y el radio de curvatura del punto de la carretera en el que se encuentra:

$a_{n}={\frac {v^{2}}{R_{\kappa }}}$

De modo que, en cuanto a la relación entre las aceleraciones normales de ambos vehículos, podemos escribir:

$v_{B}(t)=2\,v_{A}(t)\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,a_{n}^{B}(t)={\frac {[v_{B}(t)]^{2}}{R_{\kappa }^{B}(t)}}={\frac {[2\,v_{A}(t)]^{2}}{R_{\kappa }^{B}(t)}}={\frac {4\,[v_{A}(t)]^{2}}{R_{\kappa }^{B}(t)}}=4\,a_{n}^{A}(t)\,{\frac {R_{\kappa }^{A}(t)}{R_{\kappa }^{B}(t)}}$

Ahora bien, en el preciso instante del adelantamiento ($\,t=t^{*}\,$), ambos vehículos están en un mismo punto de la carretera y, por tanto, se produce una igualación de sus radios de curvatura:

$t=t^{*}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,R_{\kappa }^{B}=R_{\kappa }^{A}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,a_{n}^{B}=4\,a_{n}^{A}\,{\frac {R_{\kappa }^{A}}{R_{\kappa }^{A}}}=4\,a_{n}^{A}$

Sin embargo, antes y después del adelantamiento, los vehículos A y B se hallarán en puntos distintos de la carretera y, en consecuencia, sus radios de curvatura no coincidirán (salvo casualidades). Por tanto, esa relación obtenida, por la cual la aceleración normal del vehículo rápido es el cuádruple de la aceleración normal del vehículo lento, sólo es necesariamente cierta en el instante del adelantamiento.

Conclusión

Resumiendo, la respuesta a las dos cuestiones que se plantean en el enunciado es:

${\begin{array}{rcl}{\mbox{justo en el adelantamiento}}&\longrightarrow \ &a_{t}^{B}=2\,a_{t}^{A}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,a_{n}^{B}=4\,a_{n}^{A}\\\\{\mbox{antes y despues del adelantamiento}}&\longrightarrow &a_{t}^{B}=2\,a_{t}^{A}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,a_{n}^{B}\neq 4\,a_{n}^{A}\end{array}}$