No Boletín - Dos móviles sobre el eje OX acercándose (Ex.Oct/14)

Enunciado

Un móvil A recorre el eje OX con una velocidad constante ${\vec {v}}_{A}=-\,25\,{\vec {\imath }}\,\,\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \,$, hallándose en el punto $x=2\,\mathrm {km} \,$ en el instante inicial $t=0\,$. En ese mismo instante un segundo móvil B, que se encuentra en reposo en el punto $x=0\,$, comienza a moverse con una aceleración creciente en el tiempo según la fórmula:

${\vec {a}}_{B}(t)=C\,t\,{\vec {\imath }}$

donde $C\,$ es una constante de valor igual a $2\,\mathrm {x} 10^{-2}\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{3}\,$.

1. ¿Cuánto tiempo transcurre hasta el instante en el que la celeridad de B alcanza el mismo valor que la celeridad de A?
2. ¿Qué distancia hay entre los móviles A y B en el instante al que se refiere la pregunta anterior?

Posiciones y velocidades en función del tiempo

Comenzaremos estudiando la cinemática del móvil B.

Conforme a las definiciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea, podemos escribir:

${\vec {v}}_{B}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{B}}{\mathrm {d} t}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}_{B}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{B}}{\mathrm {d} t}}=C\,t\,{\vec {\imath }}$

Conocemos también las condiciones iniciales de posición y velocidad:

${\vec {r}}_{B}(0)={\vec {0}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{B}(0)={\vec {0}}$

Por tanto, determinar la velocidad y la posición del móvil B en función del tiempo se reduce a integrar su aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y el instante genérico $t\,$:

${\begin{array}{lllllll}\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{B}}{\mathrm {d} t}}=C\,t\,{\vec {\imath }}&\,\rightarrow \,&\mathrm {d} {\vec {v}}_{B}=C\,t\,\mathrm {d} t\,{\vec {\imath }}&\,\rightarrow \,&\displaystyle \int _{{\vec {v}}_{B}(0)}^{{\vec {v}}_{B}(t)}\!\mathrm {d} {\vec {v}}_{B}=C\left(\displaystyle \int _{0}^{t}\!t\,\mathrm {d} t\right){\vec {\imath }}&\,\rightarrow \,&{\vec {v}}_{B}(t)=\displaystyle {\frac {Ct^{2}}{2}}\,{\vec {\imath }}\\\\\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{B}}{\mathrm {d} t}}={\frac {Ct^{2}}{2}}\,{\vec {\imath }}&\,\rightarrow \,&\mathrm {d} {\vec {r}}_{B}=\displaystyle {\frac {Ct^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t\,{\vec {\imath }}&\,\rightarrow \,&\displaystyle \int _{{\vec {r}}_{B}(0)}^{{\vec {r}}_{B}(t)}\!\mathrm {d} {\vec {r}}_{B}={\frac {C}{2}}\left(\displaystyle \int _{0}^{t}\!t^{2}\,\mathrm {d} t\right){\vec {\imath }}&\,\rightarrow \,&{\vec {r}}_{B}(t)=\displaystyle {\frac {Ct^{3}}{6}}\,{\vec {\imath }}\end{array}}$

La cinemática del móvil A es más sencilla, dado que realiza un movimiento rectilíneo uniforme:

${\vec {v}}_{A}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{A}}{\mathrm {d} t}}=-v_{A}\,{\vec {\imath }}=-\,25\,{\vec {\imath }}\,\,\,\mathrm {m} /\mathrm {s}$

donde hemos llamado $v_{A}\,$ a la celeridad constante del móvil A (cuyo valor es $25\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \,$).

Conocemos también la condición inicial de posición:

${\vec {r}}_{A}(0)=2000\,{\vec {\imath }}\,\,\,\mathrm {m}$

La posición del móvil A en función del tiempo se obtiene integrando su velocidad entre el instante inicial y el instante genérico $t\,$:

${\begin{array}{lllllll}\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{A}}{\mathrm {d} t}}=-v_{A}\,{\vec {\imath }}&\,\rightarrow \,&\mathrm {d} {\vec {r}}_{A}=-v_{A}\,\mathrm {d} t\,{\vec {\imath }}&\,\rightarrow \,&\displaystyle \int _{{\vec {r}}_{A}(0)}^{{\vec {r}}_{A}(t)}\!\mathrm {d} {\vec {r}}_{A}=-v_{A}\left(\displaystyle \int _{0}^{t}\mathrm {d} t\right){\vec {\imath }}&\,\rightarrow \,&{\vec {r}}_{A}(t)={\vec {r}}_{A}(0)-v_{A}t\,\,{\vec {\imath }}\end{array}}$

Instante en el que se igualan las celeridades de los dos móviles

Conocidas las velocidades de A y B en función del tiempo:

${\vec {v}}_{A}(t)=-v_{A}\,{\vec {\imath }}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{B}(t)=\displaystyle {\frac {Ct^{2}}{2}}\,{\vec {\imath }}$

es fácil determinar en qué instante ($\,t=t^{*}\,$) la celeridad de B alcanza el mismo valor que la celeridad de A:

$|\,{\vec {v}}_{B}(t^{*})\,|=|\,{\vec {v}}_{A}(t^{*})\,|\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\frac {C(t^{*})^{2}}{2}}=v_{A}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,t^{*}={\sqrt {\frac {2\,v_{A}}{C}}}$

y sustituyendo los datos numéricos:

$t^{*}={\sqrt {\frac {2\,\mathrm {x} \,25\,\mathrm {m} /\mathrm {s} }{2\,\mathrm {x} \,10^{-2}\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{3}}}}=50\,\mathrm {s}$

Distancia entre ambos móviles en dicho instante

Conocidas las posiciones de A y B en función del tiempo:

${\vec {r}}_{A}(t)={\vec {r}}_{A}(0)-v_{A}t\,\,{\vec {\imath }}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {r}}_{B}(t)=\displaystyle {\frac {Ct^{3}}{6}}\,{\vec {\imath }}$

es fácil determinar la distancia $d\,$ existente entre ambos móviles en el instante $t=t^{*}\,$:

$d=|\,{\vec {r}}_{A}(t^{*})-{\vec {r}}_{B}(t^{*})\,|=\left|\,{\vec {r}}_{A}(0)-v_{A}t^{*}\,\,{\vec {\imath }}-{\frac {C(t^{*})^{3}}{6}}\,{\vec {\imath }}\,\,\right|$

y sustituyendo los datos numéricos:

$d=\left|\,\left[\,2000\,\mathrm {m} -25\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \,\,\mathrm {x} \,\,50\,\mathrm {s} -{\frac {2\,\mathrm {x} \,10^{-2}\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{3}\,\,\mathrm {x} \,\,(50\,\mathrm {s} )^{3}}{6}}\,\right]{\vec {\imath }}\,\,\right|=333.3\,\mathrm {m}$