Ejemplo de movimiento rectilíneo

Enunciado

Una partícula efectúa un movimiento rectilíneo tal que si $x(t)$ es la posición a lo largo de la recta y $v_{x}(t)$ la componente de la velocidad en dicha dirección, se cumple en todo instante

$v_{x}={\sqrt {kx}}$

1. Determine la aceleración en cada punto. ¿Qué tipo de movimiento efectúa la partícula?
2. Si en $t=0$ la partícula se encuentra en $x=x_{0}$, ¿cuál es su posición en cualquier instante posterior?

Aceleración

La aceleración la obtenemos derivando la velocidad respecto al tiempo, lo cual se consigue aplicando la regla de la cadena,

$a={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {k}{2{\sqrt {kx}}}}\,{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$

pero la derivada de la posición respecto al tiempo es la propia velocidad, por lo que

$a={\frac {k}{2{\sqrt {kx}}}}\,v={\frac {k}{2{\sqrt {kx}}}}{\sqrt {kx}}={\frac {k}{2}}$

La aceleración es por tanto constante y el movimiento es uniformemente acelerado.

Posición instantánea

Al ser el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la posición en cada instante es

$x(t)=x_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}\,{\frac {k}{2}}\,t^{2}$

La velocidad inicial la sacamos de que también en el instante inicial se cumple la relación del enunciado, por lo que

$x=x_{0}+t{\sqrt {kx_{0}}}+{\frac {kt^{2}}{4}}$

La velocidad instantánea es

$v={\sqrt {kx_{0}}}+{\frac {kt}{2}}$

y es inmediato comprobar que, efectivamente

$kx=v^{2}\,$