Enunciado

Una partícula recorre una espiral logarítmica, estando su posición en cada instante de tiempo descrita en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:

donde y son constantes conocidas.

  1. Calcule el vector velocidad y la rapidez del movimiento.
  2. Halle el vector aceleración y sus componentes intrínsecas.
  3. Calcule el radio de curvatura.

Vector velocidad y rapidez del movimiento

La velocidad en componentes polares viene dada por la expresión

Calculamos, por tanto, las primeras derivadas respecto al tiempo de las ecuaciones horarias

        

y sustituimos

Tomando módulo del vector velocidad, obtenemos la rapidez del movimiento

Vector aceleración y sus componentes intrínsecas

La aceleración en componentes polares viene dada por la expresión

Necesitamos también, por tanto, las segundas derivadas respecto al tiempo de las ecuaciones horarias

        

y sustituyendo y operando

Para calcular la componente tangencial de la aceleración tenemos dos posibilidades: proyectar el vector aceleración sobre la dirección del vector velocidad (dirección tangente a la trayectoria), o bien derivar respecto al tiempo la rapidez previamente calculada:

        

Y entonces, la componente normal de la aceleración (siempre positiva) la podemos determinar a partir de:

Radio de curvatura

El radio de curvatura se puede calcular a partir del conocimiento de la componente normal de la aceleración y de la rapidez del movimiento: