Enunciado
Una partícula recorre una espiral logarítmica, estando su posición en cada instante de tiempo descrita en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:
donde y son constantes conocidas.
- Calcule el vector velocidad y la rapidez del movimiento.
- Halle el vector aceleración y sus componentes intrínsecas.
- Calcule el radio de curvatura.
Vector velocidad y rapidez del movimiento
La velocidad en componentes polares viene dada por la expresión
Calculamos, por tanto, las primeras derivadas respecto al tiempo de las ecuaciones horarias
y sustituimos
Tomando módulo del vector velocidad, obtenemos la rapidez del movimiento
Vector aceleración y sus componentes intrínsecas
La aceleración en componentes polares viene dada por la expresión
Necesitamos también, por tanto, las segundas derivadas respecto al tiempo de las ecuaciones horarias
y sustituyendo y operando
Para calcular la componente tangencial de la aceleración tenemos dos posibilidades: proyectar el vector aceleración sobre la dirección del vector velocidad (dirección tangente a la trayectoria), o bien derivar respecto al tiempo la rapidez previamente calculada:
Y entonces, la componente normal de la aceleración (siempre positiva) la podemos determinar a partir de:
Radio de curvatura
El radio de curvatura se puede calcular a partir del conocimiento de la componente normal de la aceleración y de la rapidez del movimiento: