No Boletín - Tipo de movimiento rectilíneo (Ex.Nov/16)

Enunciado

Una partícula se mueve a lo largo del eje $OX\,$ y, por tanto, sus vectores de posición, velocidad y aceleración vienen dados, respectivamente, por las expresiones ${\vec {r}}=x\,{\vec {\imath }}\,$, ${\vec {v}}={\dot {x}}\,{\vec {\imath }}\,$ y ${\vec {a}}={\ddot {x}}\,{\vec {\imath }}\,$.

Se sabe que en todo instante de tiempo se verifica la siguiente relación entre su velocidad y su posición:

${\dot {x}}=C_{1}\displaystyle {\sqrt {1-(C_{2}\,x)^{2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(siendo} \,\,C_{1}\,\,\mathrm {y} \,\,C_{2}\,\,\mathrm {sendas} \,\,\mathrm {constantes} \,\,\mathrm {conocidas)}$

Determine su aceleración para poder elegir la respuesta correcta a la pregunta que se plantea a continuación.

¿Qué tipo de movimiento rectilíneo realiza esta partícula?

(a) Uniforme.

(b) Armónico simple.

(c) Uniformemente acelerado.

(d) Ninguno de los otros tres.

Solución

Obtenemos la aceleración (${\ddot {x}}\,$) derivando la velocidad (${\dot {x}}\,$) respecto al tiempo, lo cual exige en este caso aplicar la regla de la cadena:

${\ddot {x}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}\,{\dot {x}}=-\,{\frac {C_{1}C_{2}^{\,2}\,x}{\sqrt {1-(C_{2}\,x)^{2}}}}\,\,C_{1}{\sqrt {1-(C_{2}\,x)^{2}}}=-\,C_{1}^{\,2}\,C_{2}^{\,2}\,x=-\,(C_{1}C_{2})^{\,2}\,x\,\,\,\,\,\longrightarrow$

$\longrightarrow \,\,\,\,\,{\ddot {x}}\,+\,(C_{1}C_{2})^{2}\,x=0$

Pero se ha estudiado en la teoría que una ecuación del tipo $\,{\ddot {x}}+\omega ^{2}\,x=0\,$ corresponde a un movimiento armónico simple (de pulsación $\omega \,$).

Por tanto, la respuesta correcta es la opción (b). Se trata de un movimiento armónico simple (de pulsación $C_{1}C_{2}\,$).