No Boletín - Componentes intrínsecas en un movimiento circular (Ex.Jun/13)

Enunciado

El ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \psi\,} que forman entre sí los vectores velocidad y aceleración de una partícula puede determinarse a partir del cociente entre las componentes intrínsecas de su aceleración:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{tg}(\psi)=\frac{a_n}{a_t}}

Sea una partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} que recorre la circunferencia de radio $R\,$:

${\overrightarrow {OP}}\equiv {\vec {r}}(\theta )=R\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}$

¿Para cuál de las siguientes leyes horarias se mantiene constante a lo largo del tiempo el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \psi\,} formado por la velocidad y la aceleración de la partícula? (Nota: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_0\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_0\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_0\,} son constantes positivas conocidas.)

1) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)=\mathrm{sen}(\omega_0 t)\,}

2) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)=e^{(t/t_0)}}

3) $\theta (t)=\mathrm {ln} \left(\displaystyle {\frac {t}{t_{0}}}\right)$

4) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)=\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0 t^{2}}

Solución

Al estudiar en la teoría la descripción angular del movimiento circular de una partícula, utilizábamos precisamente la ecuación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} -paramétrica de la circunferencia a la que se refiere el enunciado de este problema. Y definíamos la velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega\,} y la aceleración angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha\,} de la partícula como las derivadas temporales de primer y segundo orden, respectivamente, de la ley horaria $\theta (t)\,$. También se dedujeron sendas expresiones para las componentes tangencial y normal de la aceleración de la partícula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t=R\,\alpha=R\,\ddot{\theta}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_n=R\,\omega^2=R\,\dot{\theta}^2\,}

Entonces, conforme a la afirmación inicial del enunciado, el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \psi\,} que forman entre sí los vectores velocidad y aceleración de una partícula que realiza el movimiento circular propuesto se determina mediante el siguiente cociente:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{tg}(\psi)=\frac{a_n}{a_t}=\frac{R\,\dot{\theta}^2}{R\,\ddot{\theta}}=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}}

Por tanto, averiguaremos para cuál de las cuatro leyes horarias propuestas en el enunciado se mantiene constante a lo largo del tiempo el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \psi\,} formado por la velocidad y la aceleración de la partícula investigando en cuál de ellas desaparece el tiempo al realizar el citado cociente:

1) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)=\mathrm{sen}(\omega_0 t)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\omega_0\,\mathrm{cos}(\omega_0 t)\,\,;\,\,\,\,\,\ddot{\theta}=-\omega_0^2\,\mathrm{sen}(\omega_0 t)\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\mathrm{tg}(\psi)=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}=-\mathrm{cos}(\omega_0 t)\,\mathrm{cotg}(\omega_0 t)}

2) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)=e^{(t/t_0)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\frac{e^{(t/t_0)}}{t_0}\,\,;\qquad\,\,\,\,\,\,\ddot{\theta}=\frac{e^{(t/t_0)}}{t_0^2}\,\,\,\,\,\qquad\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\mathrm{tg}(\psi)=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}=e^{(t/t_0)}}

3) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)=\mathrm{ln}\left(\displaystyle\frac{t}{t_0}\right)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\frac{1}{t}\,\,;\qquad\qquad\,\,\,\,\,\ddot{\theta}=-\frac{1}{t^2}\,\qquad\qquad\Longrightarrow\,\,\,\mathrm{tg}(\psi)=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}=-1}

4) $\theta (t)=\displaystyle {\frac {1}{2}}\alpha _{0}t^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,{\dot {\theta }}=\alpha _{0}t\,\,;\qquad \qquad \,{\ddot {\theta }}=\alpha _{0}\,\,\,\,\,\qquad \qquad \,\Longrightarrow \,\,\,\mathrm {tg} (\psi )={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{\ddot {\theta }}}=\alpha _{0}t^{2}$

Como puede observarse, la respuesta correcta es la opción número 3.