No Boletín - Componentes intrínsecas en un movimiento circular (Ex.Jun/13)

Enunciado

El ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \psi\,} que forman entre sí los vectores velocidad y aceleración de una partícula puede determinarse a partir del cociente entre las componentes intrínsecas de su aceleración:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{tg}(\psi)=\frac{a_n}{a_t}}

Sea una partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} que recorre la circunferencia de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP}\equiv\vec{r}(\theta)=R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}+R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath} }

¿Para cuál de las siguientes leyes horarias se mantiene constante a lo largo del tiempo el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \psi\,} formado por la velocidad y la aceleración de la partícula? (Nota: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_0\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_0\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_0\,} son constantes positivas conocidas.)

1) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)=\mathrm{sen}(\omega_0 t)\,}

2) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)=e^{(t/t_0)}}

3) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)=\mathrm{ln}\left(\displaystyle\frac{t}{t_0}\right)}

4) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)=\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0 t^{2}}

Solución

Al estudiar en la teoría la descripción angular del movimiento circular de una partícula, utilizábamos precisamente la ecuación $\theta \,$-paramétrica de la circunferencia a la que se refiere el enunciado de este problema. Y definíamos la velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega\,} y la aceleración angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha\,} de la partícula como las derivadas temporales de primer y segundo orden, respectivamente, de la ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)\,} . También se dedujeron sendas expresiones para las componentes tangencial y normal de la aceleración de la partícula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t=R\,\alpha=R\,\ddot{\theta}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_n=R\,\omega^2=R\,\dot{\theta}^2\,}

Entonces, conforme a la afirmación inicial del enunciado, el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \psi\,} que forman entre sí los vectores velocidad y aceleración de una partícula que realiza el movimiento circular propuesto se determina mediante el siguiente cociente:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{tg}(\psi)=\frac{a_n}{a_t}=\frac{R\,\dot{\theta}^2}{R\,\ddot{\theta}}=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}}

Por tanto, averiguaremos para cuál de las cuatro leyes horarias propuestas en el enunciado se mantiene constante a lo largo del tiempo el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \psi\,} formado por la velocidad y la aceleración de la partícula investigando en cuál de ellas desaparece el tiempo al realizar el citado cociente:

1) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)=\mathrm{sen}(\omega_0 t)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\omega_0\,\mathrm{cos}(\omega_0 t)\,\,;\,\,\,\,\,\ddot{\theta}=-\omega_0^2\,\mathrm{sen}(\omega_0 t)\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\mathrm{tg}(\psi)=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}=-\mathrm{cos}(\omega_0 t)\,\mathrm{cotg}(\omega_0 t)}

2) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)=e^{(t/t_0)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\frac{e^{(t/t_0)}}{t_0}\,\,;\qquad\,\,\,\,\,\,\ddot{\theta}=\frac{e^{(t/t_0)}}{t_0^2}\,\,\,\,\,\qquad\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\mathrm{tg}(\psi)=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}=e^{(t/t_0)}}

3) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)=\mathrm{ln}\left(\displaystyle\frac{t}{t_0}\right)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\frac{1}{t}\,\,;\qquad\qquad\,\,\,\,\,\ddot{\theta}=-\frac{1}{t^2}\,\qquad\qquad\Longrightarrow\,\,\,\mathrm{tg}(\psi)=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}=-1}

4) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)=\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0 t^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\alpha_0 t\,\,;\qquad\qquad\,\ddot{\theta}=\alpha_0\,\,\,\,\,\qquad\qquad\,\Longrightarrow\,\,\,\mathrm{tg}(\psi)=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}=\alpha_0 t^2}

Como puede observarse, la respuesta correcta es la opción número 3.