No Boletín - Componentes intrínsecas en un movimiento circular (Ex.Jun/13)

Enunciado

El ángulo $\psi \,$ que forman entre sí los vectores velocidad y aceleración de una partícula puede determinarse a partir del cociente entre las componentes intrínsecas de su aceleración:

$\mathrm {tg} (\psi )={\frac {a_{n}}{a_{t}}}$

Sea una partícula $P\,$ que recorre la circunferencia de radio $R\,$:

${\overrightarrow {OP}}\equiv {\vec {r}}(\theta )=R\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}$

¿Para cuál de las siguientes leyes horarias se mantiene constante a lo largo del tiempo el ángulo $\psi \,$ formado por la velocidad y la aceleración de la partícula? (Nota: $\omega _{0}\,$, $\alpha _{0}\,$ y $t_{0}\,$ son constantes positivas conocidas.)

1) $\theta (t)=\mathrm {sen} (\omega _{0}t)\,$

2) $\theta (t)=e^{(t/t_{0})}$

3) $\theta (t)=\mathrm {ln} \left(\displaystyle {\frac {t}{t_{0}}}\right)$

4) $\theta (t)=\displaystyle {\frac {1}{2}}\alpha _{0}t^{2}$

Solución

Al estudiar en la teoría la descripción angular del movimiento circular de una partícula, utilizábamos precisamente la ecuación $\theta \,$-paramétrica de la circunferencia a la que se refiere el enunciado de este problema. Y definíamos la velocidad angular $\omega \,$ y la aceleración angular $\alpha \,$ de la partícula como las derivadas temporales de primer y segundo orden, respectivamente, de la ley horaria $\theta (t)\,$. También se dedujeron sendas expresiones para las componentes tangencial y normal de la aceleración de la partícula:

$a_{t}=R\,\alpha =R\,{\ddot {\theta }}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{n}=R\,\omega ^{2}=R\,{\dot {\theta }}^{2}\,$

Entonces, conforme a la afirmación inicial del enunciado, el ángulo $\psi \,$ que forman entre sí los vectores velocidad y aceleración de una partícula que realiza el movimiento circular propuesto se determina mediante el siguiente cociente:

$\mathrm {tg} (\psi )={\frac {a_{n}}{a_{t}}}={\frac {R\,{\dot {\theta }}^{2}}{R\,{\ddot {\theta }}}}={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{\ddot {\theta }}}$

Por tanto, averiguaremos para cuál de las cuatro leyes horarias propuestas en el enunciado se mantiene constante a lo largo del tiempo el ángulo $\psi \,$ formado por la velocidad y la aceleración de la partícula investigando en cuál de ellas desaparece el tiempo al realizar el citado cociente:

1) $\theta (t)=\mathrm {sen} (\omega _{0}t)\,\,\,\longrightarrow \,\,\,{\dot {\theta }}=\omega _{0}\,\mathrm {cos} (\omega _{0}t)\,\,;\,\,\,\,\,{\ddot {\theta }}=-\omega _{0}^{2}\,\mathrm {sen} (\omega _{0}t)\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\mathrm {tg} (\psi )={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{\ddot {\theta }}}=-\mathrm {cos} (\omega _{0}t)\,\mathrm {cotg} (\omega _{0}t)$

2) $\theta (t)=e^{(t/t_{0})}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,{\dot {\theta }}={\frac {e^{(t/t_{0})}}{t_{0}}}\,\,;\qquad \,\,\,\,\,\,{\ddot {\theta }}={\frac {e^{(t/t_{0})}}{t_{0}^{2}}}\,\,\,\,\,\qquad \,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\mathrm {tg} (\psi )={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{\ddot {\theta }}}=e^{(t/t_{0})}$

3) $\theta (t)=\mathrm {ln} \left(\displaystyle {\frac {t}{t_{0}}}\right)\,\,\,\longrightarrow \,\,\,{\dot {\theta }}={\frac {1}{t}}\,\,;\qquad \qquad \,\,\,\,\,{\ddot {\theta }}=-{\frac {1}{t^{2}}}\,\qquad \qquad \Longrightarrow \,\,\,\mathrm {tg} (\psi )={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{\ddot {\theta }}}=-1$

4) $\theta (t)=\displaystyle {\frac {1}{2}}\alpha _{0}t^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,{\dot {\theta }}=\alpha _{0}t\,\,;\qquad \qquad \,{\ddot {\theta }}=\alpha _{0}\,\,\,\,\,\qquad \qquad \,\Longrightarrow \,\,\,\mathrm {tg} (\psi )={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{\ddot {\theta }}}=\alpha _{0}t^{2}$

Como puede observarse, la respuesta correcta es la opción número 3.