No Boletín - Celeridad media (Ex.Oct/18)

Enunciado

Una partícula, que se mueve a lo largo del eje $OX\,$ , tiene en el instante inicial $(t=0)\,$ una velocidad ${\vec {v}}(0)=v_{0}\,{\vec {\imath }}\,$ (donde $v_{0}>0\,$ ) y sufre una desaceleración creciente en el tiempo, dada por la función ${\vec {a}}(t)=-Ct\,{\vec {\imath }}\,$ (donde $C={\mbox{cte}}>0\,$ ), hasta que finalmente se detiene.

¿Cuál es la celeridad media de la partícula en el intervalo de tiempo transcurrido entre el instante inicial y el instante en el que se detiene?

Posición y velocidad en función del tiempo

Conforme a las definiciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea, podemos escribir:

{\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {v}}\,\mathrm {d} t\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=-Ct\,{\vec {\imath }}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\mathrm {d} {\vec {v}}=-Ct\,\mathrm {d} t\,{\vec {\imath }}

Conocemos la velocidad inicial de la partícula, y podemos suponer sin pérdida de generalidad que su posición inicial coincide con el origen de coordenadas:

{\vec {r}}(0)={\vec {0}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}(0)=v_{0}\,{\vec {\imath }}

Por tanto, determinar la velocidad y la posición de la partícula en función del tiempo se reduce a integrar su aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y el instante genérico $t\,$ :

{\begin{array}{lll}\displaystyle \int _{{\vec {v}}(0)}^{{\vec {v}}(t)}\!\mathrm {d} {\vec {v}}=-C\left(\displaystyle \int _{0}^{t}\!t\,\mathrm {d} t\right){\vec {\imath }}&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}(t)={\vec {v}}(0)-\displaystyle {\frac {Ct^{2}}{2}}\,{\vec {\imath }}=\left(v_{0}-\displaystyle {\frac {Ct^{2}}{2}}\right)\,{\vec {\imath }}\\\\\displaystyle \int _{{\vec {r}}(0)}^{{\vec {r}}(t)}\!\mathrm {d} {\vec {r}}=\left[\displaystyle \int _{0}^{t}\left(v_{0}-\displaystyle {\frac {Ct^{2}}{2}}\right)\,\mathrm {d} t\right]{\vec {\imath }}&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {r}}(t)=\left[\,v_{0}\,t-\displaystyle {\frac {Ct^{3}}{6}}\,\right]\,{\vec {\imath }}\end{array}}

Instante en el que la partícula se detiene

Igualando a cero la velocidad de la partícula, determinamos el instante ( $\,\,t=t^{*}\,$ ) en el que se detiene:

{\vec {v}}(t^{*})={\vec {0}}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\left(v_{0}-\displaystyle {\frac {C(t^{*})^{2}}{2}}\right)\,{\vec {\imath }}={\vec {0}}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,v_{0}-\displaystyle {\frac {C(t^{*})^{2}}{2}}=0\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,t^{*}=\displaystyle {\sqrt {\frac {2v_{0}}{C}}}

Celeridad media en el intervalo de tiempo propuesto

Nótese que $v_{x}(t)=v_{0}-\displaystyle {\frac {Ct^{2}}{2}}\,$ es positiva en el intervalo de tiempo $0<t<t^{*}\,$ , lo cual implica que la partícula se mueve siempre en el sentido positivo del eje $\,OX\,$ durante dicho intervalo. Por tanto, la distancia $L\,$ recorrida por la partícula durante el intervalo propuesto coincide con el incremento de su coordenada $\Delta \,x\,$ . Teniendo en cuenta que $x(t)=v_{0}\,t-\displaystyle {\frac {Ct^{3}}{6}}\,$ , se obtiene: