No Boletín - Celeridad media (Ex.Oct/18)

Enunciado

Una partícula, que se mueve a lo largo del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX\,} , tiene en el instante inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (t=0)\,} una velocidad ${\vec {v}}(0)=v_{0}\,{\vec {\imath }}\,$ (donde $v_{0}>0\,$) y sufre una desaceleración creciente en el tiempo, dada por la función ${\vec {a}}(t)=-Ct\,{\vec {\imath }}\,$ (donde $C={\mbox{cte}}>0\,$), hasta que finalmente se detiene.

¿Cuál es la celeridad media de la partícula en el intervalo de tiempo transcurrido entre el instante inicial y el instante en el que se detiene?

Posición y velocidad en función del tiempo

Conforme a las definiciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea, podemos escribir:

${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {v}}\,\mathrm {d} t\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=-Ct\,{\vec {\imath }}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\mathrm {d} {\vec {v}}=-Ct\,\mathrm {d} t\,{\vec {\imath }}$

Conocemos la velocidad inicial de la partícula, y podemos suponer sin pérdida de generalidad que su posición inicial coincide con el origen de coordenadas:

${\vec {r}}(0)={\vec {0}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}(0)=v_{0}\,{\vec {\imath }}$

Por tanto, determinar la velocidad y la posición de la partícula en función del tiempo se reduce a integrar su aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y el instante genérico $t\,$:

${\begin{array}{lll}\displaystyle \int _{{\vec {v}}(0)}^{{\vec {v}}(t)}\!\mathrm {d} {\vec {v}}=-C\left(\displaystyle \int _{0}^{t}\!t\,\mathrm {d} t\right){\vec {\imath }}&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}(t)={\vec {v}}(0)-\displaystyle {\frac {Ct^{2}}{2}}\,{\vec {\imath }}=\left(v_{0}-\displaystyle {\frac {Ct^{2}}{2}}\right)\,{\vec {\imath }}\\\\\displaystyle \int _{{\vec {r}}(0)}^{{\vec {r}}(t)}\!\mathrm {d} {\vec {r}}=\left[\displaystyle \int _{0}^{t}\left(v_{0}-\displaystyle {\frac {Ct^{2}}{2}}\right)\,\mathrm {d} t\right]{\vec {\imath }}&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {r}}(t)=\left[\,v_{0}\,t-\displaystyle {\frac {Ct^{3}}{6}}\,\right]\,{\vec {\imath }}\end{array}}$

Instante en el que la partícula se detiene

Igualando a cero la velocidad de la partícula, determinamos el instante (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,t=t^{*}\,} ) en el que se detiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(t^{*})=\vec{0} \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \left(v_0-\displaystyle\frac{C(t^{*})^2}{2}\right)\,\vec{\imath}=\vec{0}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,v_0-\displaystyle\frac{C(t^{*})^2}{2}=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,t^{*}=\displaystyle\sqrt{\frac{2v_0}{C}} }

Celeridad media en el intervalo de tiempo propuesto

Nótese que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_x(t)=v_0-\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\,} es positiva en el intervalo de tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0< t<t^{*}\,} , lo cual implica que la partícula se mueve siempre en el sentido positivo del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,OX\,} durante dicho intervalo. Por tanto, la distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L\,} recorrida por la partícula durante el intervalo propuesto coincide con el incremento de su coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\, x\,} . Teniendo en cuenta que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t)=v_0\,t-\displaystyle\frac{Ct^3}{6}\,} , se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L=\Delta\, x=x(t^{*})-x(0)=v_0\,t^{*}-\displaystyle\frac{C(t^{*})^3}{6}=v_0\displaystyle\sqrt{\frac{2v_0}{C}}-\displaystyle\frac{C}{6}\displaystyle\frac{2v_0}{C}\displaystyle\sqrt{\frac{2v_0}{C}}=\frac{2v_0}{3}\sqrt{\frac{2v_0}{C}} }

Finalmente, la celeridad media de la partícula en el intervalo de tiempo propuesto viene dada por el siguiente cociente:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle v\right\rangle = \frac{L}{\Delta\, t}=\frac{L}{t^{*}}=\displaystyle\frac{2v_0}{3} }