Enunciado

Una partícula, cuya celeridad inicial es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0\,} , recorre una hélice de radio de curvatura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_{\kappa}\,} parametrizada naturalmente, de tal modo que se cumple la condición de que la suma de sus aceleraciones tangencial y normal es nula en todo instante de tiempo:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t(t)+a_n(t)=0\,;\,\,\,\,\,\forall t }

¿Para cuál de las siguientes leyes horarias se cumple dicha condición?

(1) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t)=\displaystyle\frac{R_{\kappa}\,v_0\,t}{R_{\kappa}+v_0\,t}\,}
(2) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t)=R_{\kappa}\,[\,e^{(v_0t/R_{\kappa})}-1\,]\,}
(3) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t)=v_0\,t+\displaystyle\frac{1}{2}\,\frac{v_0^2}{R_{\kappa}}\,t^2\,}
(4) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t)=R_{\kappa}\,\mathrm{ln}\!\left(\!1+\displaystyle\frac{v_0}{R_{\kappa}}\,t\right)\,}

Solución (por ensayo y error)

A partir de una ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t)\,} y del radio de curvatura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_{\kappa}\,} (constante en este caso, por tratarse de una hélice), podemos calcular la celeridad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(t)\,} , la aceleración tangencial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t(t)\,} y la aceleración normal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_n(t)\,} de la partícula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(t)=\dot{s}(t)\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_t(t)=\dot{v}(t)=\ddot{s}(t)\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_n(t)=\frac{v^2(t)}{R_{\kappa}} }

Así que, tal como está planteado el ejercicio, basta con determinar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t(t)\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_n(t)\,} para cada una de las cuatro leyes horarias propuestas y comprobar en qué caso suman cero.

Para la ley horaria (1):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t)=\displaystyle\frac{R_{\kappa}\,v_0\,t}{R_{\kappa}+v_0\,t}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, v(t)=\displaystyle\frac{R_{\kappa}^2 v_0}{(R_{\kappa}+v_0\,t)^2}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_t(t)=-\,\displaystyle\frac{2 R_{\kappa}^2 v_0^2}{(R_{\kappa}+v_0\,t)^3}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_n(t)=\displaystyle\frac{R_{\kappa}^3 v_0^2}{(R_{\kappa}+v_0\,t)^4} }

Para la ley horaria (2):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t)=R_{\kappa}\,[\,e^{(v_0t/R_{\kappa})}-1\,]\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, v(t)=v_0\,e^{(v_0t/R_{\kappa})}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_t(t)=\displaystyle\frac{v_0^2}{R_{\kappa}}\,e^{(v_0t/R_{\kappa})}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_n(t)=\displaystyle\frac{v_0^2}{R_{\kappa}}\,e^{(2\,v_0t/R_{\kappa})} }

Para la ley horaria (3):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t)=v_0\,t\,+\,\displaystyle\frac{1}{2}\,\frac{v_0^2}{R_{\kappa}}\,t^2\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, v(t)=v_0\,+\,\displaystyle\frac{v_0^2}{R_{\kappa}}\,t\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_t(t)=\displaystyle\frac{v_0^2}{R_{\kappa}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_n(t)=\displaystyle\frac{1}{R_{\kappa}}\left(v_0+\displaystyle\frac{v_0^2}{R_{\kappa}}\,t\right)^2 }

Para la ley horaria (4):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t)=R_{\kappa}\,\mathrm{ln}\!\left(\!1+\displaystyle\frac{v_0}{R_{\kappa}}\,t\right)\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, v(t)=\displaystyle\frac{R_{\kappa}v_0}{R_{\kappa}+v_0\,t}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_t(t)=-\,\displaystyle\frac{R_{\kappa}v_0^2}{(R_{\kappa}+v_0\,t)^2}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_n(t)=\displaystyle\frac{R_{\kappa}v_0^2}{(R_{\kappa}+v_0\,t)^2} }

Es evidente que la condición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t(t)+a_n(t)=0\,} sólo se verifica para la ley horaria (4).

Deducción directa de la ley horaria mediante integración

A continuación, vamos a ver cómo se determinaría de forma directa la ley horaria que satisface la condición impuesta. Para ello, habría que integrar dos veces. Eso sí, para obtener una ley horaria concreta (sin constantes indeterminadas) es necesario que nos den las condiciones iniciales (en este caso, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(0)=0\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(0)=v_0\,} ).

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t(t)\,+\,a_n(t)=0\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\displaystyle\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,+\,\frac{v^2}{R_{\kappa}}=0\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\int_{v_0}^{v(t)}\displaystyle\frac{\mathrm{d}v}{v^2}=-\frac{1}{R_{\kappa}}\int_{0}^{t}\!\mathrm{d}t\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\displaystyle\frac{1}{v_0}\,-\,\frac{1}{v(t)}=-\,\frac{t}{R_{\kappa}}\,\,\,\longrightarrow}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \longrightarrow\,\,\,v(t)=\frac{R_{\kappa}v_0}{R_{\kappa}+v_0\, t}}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{R_{\kappa}v_0}{R_{\kappa}+v_0\, t}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\int_{0}^{s(t)}\!\!\mathrm{d}s=\int_{0}^{t}\frac{R_{\kappa}v_0}{R_{\kappa}+v_0\, t}\,\mathrm{d}t\,\,\,\longrightarrow\,\,\,s(t)=R_{\kappa}\,\mathrm{ln}\!\left(\!1+\displaystyle\frac{v_0}{R_{\kappa}}\,t\right)}

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