No Boletín - Rectilíneo con aceleración exponencialmente decreciente (Ex.Oct/15)

Enunciado

Una partícula, que se hallaba en reposo en el instante inicial (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0\,} ), se mueve con una aceleración exponencialmente decreciente en el tiempo según la fórmula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}(t)=g\, e^{\displaystyle -\lambda\, t}\,\,\vec{\imath} }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,g\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\lambda\,} son constantes positivas conocidas.

¿Hacia qué valor límite tiende la velocidad de dicha partícula cuando se deja pasar mucho tiempo (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t\rightarrow\infty\!\,} ) ?

Solución

Conforme a la definición de aceleración instantánea, podemos escribir:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=g\, e^{\displaystyle -\lambda\, t}\,\,\vec{\imath}\,\,\,\,\,\, (\mathrm{para}\,\, t>0)}

Conocemos también la velocidad inicial (la partícula se hallaba en reposo en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0\,} ):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(0)=\vec{0} }

Determinamos la velocidad de la partícula para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t>0\,} integrando su aceleración entre el instante inicial y un instante genérico:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=g\, e^{\displaystyle -\lambda\, t}\,\,\vec{\imath} \,\,\rightarrow\,\, \mathrm{d}\vec{v}=g\, e^{\displaystyle -\lambda\, t}\,\mathrm{d}t\,\,\vec{\imath} \,\,\rightarrow\,\, \displaystyle\int_{\vec{v}(0)}^{\, \vec{v}(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}=g\,\left(\,\displaystyle\int_{0}^{\, t}\!e^{\displaystyle -\lambda\, t}\,\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} \,\,\rightarrow\,\, \vec{v}(t)=\frac{g}{\lambda}\left(1-e^{\displaystyle -\lambda\, t}\right)\,\vec{\imath} }

Por tanto, el valor límite hacia el que tiende la velocidad de la partícula cuando se deja pasar mucho tiempo (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t\rightarrow\infty\!\,} ) es:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}\,(\infty)=\lim_{t\rightarrow\infty}\vec{v}(t)=\lim_{t\rightarrow\infty}\left[\,\frac{g}{\lambda}\left(1-e^{\displaystyle -\lambda\, t}\right)\,\vec{\imath}\,\,\right]=\displaystyle\frac{g}{\lambda}\,\,\vec{\imath} }