Movimiento de partícula sujeta de un hilo

Enunciado

Una barra rígida Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AB} de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} se mueve en un plano vertical Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY} , manteniendo su extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} articulado en un punto del eje horizontal de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}= L \vec{\imath}} , y verificando la ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t) = 2\omega t} , con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 \leq \theta \leq \pi} y siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega =} cte. Un hilo inextensible de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2L} tiene uno de sus extremos conectado al origen del sistema de referencia (punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} ), mientras que del otro cuelga una partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} que mantiene al hilo siempre tenso. El hilo se apoya sobre una pequeña polea de radio despreciable situada en el extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} de la barra, de forma que el tramo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overline{BP}} permanece siempre paralelo al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY} (ver figura). Se pide:

1. Ecuaciones horarias del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP} = \vec{r}(t) =x(t) \vec{\imath} + y(t) \vec{\jmath}} .
2. Instante del tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_M} en que la partícula alcanza su altura máxima.
3. Radio de curvatura de la trayectoria seguida por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} , en el instante considerado en el apartado anterior.

Ecuaciones horarias

La posición del punto P puede escribirse como suma de tres vectores

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}}

donde

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=L\vec{\imath}}

y

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}=L\cos(\theta)\vec{\imath}+L\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}}

El vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BP}} es vertical hacia abajo y con un módulo igual a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\overrightarrow{BP}| = 2L-|\overrightarrow{OB}|}

siendo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}| = \sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2+|\overrightarrow{AB}|^2+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}}=\sqrt{L^2+L^2+2L^2\cos(\theta)} = 2L\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}

Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BP}=-2L\left(1-\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)\vec{\jmath}}

y el vector de posición buscado es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(\theta)=\overrightarrow{OP} = L\left(1+\cos(\theta)\right)\vec{\imath}+L\left(\mathrm{sen}(\theta)-2+2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)\vec{\jmath}}

En función del tiempo quedan las ecuaciones horarias

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t) = L\left(1+\cos(2\omega t)\right)\vec{\imath}+L\left(\mathrm{sen}(2\omega t)-2+2\cos\left(\omega t\right)\right)\vec{\jmath}}

Instante de máxima altura

El instante de máxima altura se alcanza en el momento en que la componente vertical de la velocidad se anula.

La velocidad en cada instante es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=2L\omega\left[-\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\imath}+\left(\cos(2\omega t)-\mathrm{sen}(\omega t)\right)\vec{\jmath}\,\right]}

La componente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y} se anula cuando

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 = \cos(2\omega t)-\mathrm{sen}(\omega t) = \mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}-2\omega t\right)-\mathrm{sen}(\omega t)}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\pi}{2}-2\omega t = \omega t}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t = \frac{\pi}{6\omega}}

Esto es, la máxima altura se alcanza cuando la barra forma un ángulo de π/3 = 60° con la horizontal.

Radio de curvatura

Para el radio de curvatura necesitamos la aceleración en ese instante. Derivando de nuevo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-2L\omega^2\left[2\cos(2\omega t)\vec{\imath}+\left(2\,\mathrm{sen}(2\omega t)+\cos(\omega t)\right)\vec{\jmath}\,\right]}

En el instante de máxima altura, la aceleración vale

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}(\pi/6\omega)=-2L\omega^2\left(2\frac{1}{2}\vec{\imath}+\left(2\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\vec{\jmath}\right) = -L\omega^2\left(2\vec{\imath}+3\sqrt{3}\vec{\jmath}\right)}

La velocidad en ese mismo instante es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(\pi/6\omega) = -\sqrt{3}L\omega\vec{\imath}}

Puesto que la velocidad es puramente horizontal, la aceleración normal es la componente vertical

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_n = 3\sqrt{3}L\omega^2}

Esto nos da el radio de curvatura

$R={\frac {v^{2}}{a_{n}}}={\frac {3L^{2}\omega ^{2}}{3L\omega ^{2}{\sqrt {3}}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}L$