No Boletín - Otro tiro parabólico (Ex.Sep/15)

Enunciado

Un proyectil se mueve en el plano vertical $OXZ\,$. Se conoce su aceleración constante (debida a su propio peso), y también su posición y su velocidad en el instante inicial ($t=0\,$):

${\vec {a}}(t)=-g\,{\vec {k}}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {r}}(0)=h\,{\vec {k}}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}(0)=v_{0}\,[\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}+\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {k}}\,]$

donde $g\,$, $h\,$ y $v_{0}\,$ tienen valores positivos, y $\theta \,$ está comprendido en el intervalo $0<\theta <\pi /2.\,$

1. Determine el radio de curvatura de la trayectoria del proyectil en el instante inicial.
2. Determine la celeridad del proyectil en el instante en el que su trayectoria corta al eje $OX.\,$

Radio de curvatura en el instante inicial

El radio de curvatura de la trayectoria del proyectil en el instante inicial puede calcularse a partir de su velocidad y su aceleración en dicho instante mediante la fórmula:

$R_{\kappa }(0)={\frac {|{\vec {v}}(0)|^{3}}{|{\vec {v}}(0)\times {\vec {a}}(0)|}}$

Así que, sustituyendo en dicha fórmula los valores iniciales de velocidad y aceleración:

${\vec {v}}(0)=v_{0}\,[\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}+\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {k}}\,]\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}(0)=-g\,{\vec {k}}$

se obtiene:

$R_{\kappa }(0)={\frac {v_{0}^{2}}{g\,\mathrm {cos} (\theta )}}$

Celeridad del proyectil al cortar el eje OX

Las definiciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea establecen que:

${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}$

En el caso que nos ocupa, conocemos los valores iniciales de la posición ${\vec {r}}(0)\,$ y de la velocidad ${\vec {v}}(0)\,$ del proyectil, y además conocemos su aceleración en todo instante, la cual tiene valor constante:

${\vec {a}}(t)=-g\,{\vec {k}}={\vec {a}}\,\,\mathrm {(cte)}$

Determinar la velocidad y la posición del proyectil para $t>0\,$ se reduce a integrar la aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y un instante genérico:

${\begin{array}{lllll}\mathrm {d} {\vec {v}}={\vec {a}}\,\mathrm {d} t&\longrightarrow &\displaystyle \int _{{\vec {v}}(0)}^{{\vec {v}}(t)}\!\mathrm {d} {\vec {v}}={\vec {a}}\displaystyle \int _{0}^{\,t}\mathrm {d} t&\longrightarrow &{\vec {v}}(t)={\vec {v}}(0)+{\vec {a}}\,t\\\\\mathrm {d} {\vec {r}}=[{\vec {v}}(0)+{\vec {a}}\,t\,]\,\mathrm {d} t&\longrightarrow &\displaystyle \int _{{\vec {r}}(0)}^{{\vec {r}}(t)}\!\mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {v}}(0)\displaystyle \int _{0}^{\,t}\mathrm {d} t+{\vec {a}}\displaystyle \int _{0}^{\,t}\!t\,\mathrm {d} t&\longrightarrow &{\vec {r}}(t)={\vec {r}}(0)+{\vec {v}}(0)\,t+\displaystyle {\frac {1}{2}}\,{\vec {a}}\,t^{2}\end{array}}$

Sustituyendo los valores dados de ${\vec {r}}(0)\,$ y ${\vec {v}}(0)\,$, obtenemos:

${\vec {v}}(t)=v_{0}\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}\,+\,\left[v_{0}\,\mathrm {sen} (\theta )-g\,t\,\right]{\vec {k}}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {r}}(t)=v_{0}\,\mathrm {cos} (\theta )\,t\,{\vec {\imath }}\,+\left[h+v_{0}\,\mathrm {sen} (\theta )\,t-\displaystyle {\frac {1}{2}}\,g\,t^{2}\right]{\vec {k}}$

La trayectoria del proyectil cortará al eje OX en el instante $t^{*}\,$ en el que la coordenada $z\,$ del proyectil se anule:

$z(t^{*})=0\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,h\,+\,v_{0}\,\mathrm {sen} (\theta )\,t^{*}\,-\,\displaystyle {\frac {1}{2}}\,g\,(t^{*})^{2}=0\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,t^{*}=\displaystyle {\frac {1}{g}}\left[v_{0}\,\mathrm {sen} (\theta )+{\sqrt {v_{0}^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}(\theta )+2\,gh}}\,\right]$

donde el valor de $t^{*}\,$ corresponde a la solución positiva de la ecuación de segundo grado obtenida. La velocidad en dicho instante $t^{*}\,$ es:

${\vec {v}}(t^{*})=v_{0}\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}\,+\,\left[v_{0}\,\mathrm {sen} (\theta )-g\,t^{*}\,\right]{\vec {k}}=v_{0}\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}\,-\,{\sqrt {v_{0}^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}(\theta )+2\,gh}}\,\,{\vec {k}}$

Y tomando el módulo de esta velocidad, hallamos la celeridad del proyectil en el instante de interés:

$v(t^{*})=|{\vec {v}}(t^{*})|={\sqrt {v_{0}^{2}\,\mathrm {cos} ^{2}(\theta )\,+\,v_{0}^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}(\theta )+2\,gh}}={\sqrt {v_{0}^{2}+2\,gh}}$