Problemas de Dinámica del Punto (GITI)

3.1. Cálculo de energías potenciales

Para las siguientes fuerzas, consideradas en una dimensión

• Peso: $F=-mg$

• Elástica: $F=-k(x-l_{0})$

• Gravitatoria: $F=-GMm/x^{2}$

1. Determine la energía potencial de la que deriva cada una.
2. Trace las curvas de potencial para las tres fuerzas.
3. Considere el caso de una partícula sometida simultáneamente a una fuerza elástica y al peso, ¿cuál es la energía potencial como función de la posición? ¿Qué forma tiene su curva de potencial? ¿Qué movimiento describe una partícula sometida a estas dos fuerzas a la vez?
4. Para el caso de la fuerza gravitatoria, calcule la velocidad de escape, definida como aquella que partiendo de la superficie de un planeta, permite llegar al infinito con velocidad nula.

3.2. Partícula sometida a fuerza dependiente de una coordenada (Ex.Ene/11)

Una partícula material de masa $m$ parte del origen de coordenadas con velocidad ${\vec {v}}_{0}=v_{0}{\vec {\jmath }}$, encontrándose sometida en todo momento a la fuerza dependiente de la posición

${\vec {F}}(x,y,z)=A{\vec {\imath }}-By{\vec {\jmath }}$

siendo ${\vec {r}}=x{\vec {\imath }}+y{\vec {\jmath }}+z{\vec {k}}$ la posición instantánea de la partícula, y $A$ y $B$ dos constantes positivas conocidas.

1. Calcule la posición, velocidad y aceleración instantáneas de la partícula para todo instante de tiempo, $t$.
2. Demuestre que

$G={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})-Ax+{\frac {1}{2}}By^{2}$

es una integral primera del movimiento de la partícula y calcule su valor en todo instante. ¿Qué significado físico tiene esta cantidad?

3.3. Tensión de un péndulo

Empleando el teorema de conservación de la energía mecánica, determine la velocidad con la que un péndulo simple de masa $m$ y longitud $l_{0}$ pasa por su punto más bajo, como función del ángulo máximo $\theta _{0}$ con el que se separa de la vertical.

Determine la tensión de la cuerda en el punto más bajo y en el punto de máxima separación de la vertical.

3.4. Partícula en el interior de un aro

Se tiene un aro circular de radio $R$ situado verticalmente. Determine la velocidad que debe comunicarse a una partícula de masa $m$ situada en el punto más bajo del aro para que sea capaz de llegar hasta el punto más alto si la partícula es:

1. Una anilla ensartada en el aro
2. Una bolita que desliza por el interior del aro, sin estar unida a él.

Calcule la reacción que ejerce el aro sobre la partícula en el punto más bajo y en el más alto, para los dos casos anteriores. Desprecie el rozamiento en todos los casos.

3.5. Partícula en el interior de un tubo

Una partícula de masa $m$ se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual se halla en todo momento contenido en el plano horizontal OXY girando con velocidad angular $\omega$ constante alrededor del eje OZ, de forma que la posición de la partícula puede escribirse como

$x=\rho \,\mathrm {cos} (\omega t)\,\,$;    $y=\rho \,\mathrm {sen} (\omega t)$

donde $\rho =\rho (t)\,$, función que hay que determinar, define la posición de la partícula a lo largo del tubo.

1. Halle la ecuación diferencial que debe satisfacer $\rho (t)\,$ sabiendo que el tubo no puede ejercer fuerza en la dirección longitudinal (no hay rozamiento).
2. Compruebe que $\rho (t)=A\mathrm {e} ^{\omega t}\,$ es una solución de dicha ecuación diferencial.
3. Para esta solución particular
   1. Calcule la fuerza ejercida por el tubo en cada instante.
   2. Halle la potencia desarrollada por el tubo sobre la partícula.
   3. Calcule el trabajo realizado sobre la partícula durante el tiempo que emplea en pasar de $\rho =b\,$ a $\rho =2b\,$.
   4. Evalúe el incremento de energía cinética de la partícula en el mismo intervalo y compruebe que se verifica el teorema de la energía cinética.

3.6. Oscilador armónico en el plano

Una partícula de masa $m$ se encuentra sujeta a un resorte de constante $k$ y longitud natural nula, el cual ejerce una fuerza

${\vec {F}}=-k{\vec {r}}$

La posición inicial de la masa y su velocidad inicial son:

${\vec {r}}_{0}=x_{0}{\vec {\imath }}$    ${\vec {v}}_{0}=v_{0}{\vec {\jmath }}$

1. Exprese el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas $O$ y la energía mecánica de la partícula en función de $x$, $y$, $z$ y sus derivadas temporales, ${\dot {x}}$, ${\dot {y}}$ y ${\dot {z}}$.
2. Demuestre que las dos magnitudes anteriores son integrales primeras y evalúelas en función de las condiciones iniciales.
3. Demuestre que el movimiento de esta partícula se restringe al plano OXY y que su velocidad areolar respecto al punto $O$ es constante.

3.7. Integrales primeras en un helicoidal uniforme (Ex.Ene/12)

Una partícula P, de masa $m\,$, se mueve con respecto a un triedro cartesiano OXYZ siguiendo la ecuación horaria:

${\overrightarrow {OP}}\equiv {\vec {r}}(t)=b\,\mathrm {sen} (\Omega t)\,{\vec {\imath }}+v_{o}t\,{\vec {\jmath }}-b\,\mathrm {cos} (\Omega t)\,{\vec {k}}$

siendo $b\,$, $\Omega \,$ y $v_{o}\,$ constantes conocidas.

1. Determine las componentes intrínsecas de la aceleración de la partícula y el radio de curvatura de su trayectoria.
2. Calcule la energía cinética de la partícula y la fuerza que causa el movimiento. Exprese y verifique matemáticamente la cualidad geométrica de la fuerza (condición de ortogonalidad) que guarda relación directa con el hecho de que la energía cinética sea integral primera.
3. Determine el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas. ¿Se conserva constante en el tiempo alguna de las componentes cartesianas de dicho momento cinético? En caso afirmativo, explique por qué ocurre esto verificando matemáticamente que se cumple la condición necesaria establecida en el correspondiente teorema de conservación.

3.8. Movimiento bajo fuerza central en polares

Sea una partícula $P$ de masa $m$ cuyo movimiento en el plano OXY se describe mediante coordenadas polares.

1. Deduzca la expresión de su velocidad areolar respecto al origen de coordenadas $O$, y compruebe que la misma es constante en el tiempo si el movimiento transcurre bajo la acción de una fuerza central en $O$.
2. Sabiendo que la partícula recorre la espiral $\rho =\rho _{0}e^{\theta }\,$ sometida a una fuerza central en $O$ y con condiciones iniciales $\theta (0)=0\,$ y ${\dot {\theta }}(0)=\omega _{0}$, determine las ecuaciones horarias $\rho =\rho (t)\,$ y $\theta =\theta (t)\,$.

3.9. Sonda espacial

Una sonda espacial, considerada como un punto material $P\,$ de masa $m\,$, se mueve en el plano OXY (descrito mediante las coordenadas polares $\rho \,$ y $\theta \,$ de la figura) cuyo origen $O\,$ coincide con el centro de un planeta de radio $R\,$. Éste ejerce sobre la sonda una fuerza de atracción gravitatoria conservativa, cuya energía potencial asociada viene dada por la expresión:

$U(\rho )=-{\frac {\gamma m}{\rho }}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm {(} \gamma \,\,\mathrm {es} \,\,\mathrm {una} \,\,\mathrm {constante} \,\,\mathrm {conocida)}$

Mediante la acción de sus motores, la sonda es puesta en órbita desde la superficie del planeta siguiendo la espiral logarítmica de ecuaciones horarias:

$\rho (t)=R\,e^{\lambda \omega t}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\theta (t)=\omega t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm {(} \lambda \,\,\mathrm {y} \,\,\omega \,\,\mathrm {son} \,\,\mathrm {constantes} \,\,\mathrm {conocidas)}$

Despreciando las posibles fuerzas de fricción sobre la sonda, así como las pérdidas de masa asociadas al gasto de combustible, se pide:

1. Deducir razonadamente si el movimiento de la sonda es o no es un movimiento central con centro en $O\,$.
2. Comprobar que la energía cinética de la sonda responde a la expresión $K=C\rho ^{2}\,$, determinando el valor de la constante $C\,$ en función de las constantes conocidas del problema.
3. Aplicando el teorema de la energía mecánica, determinar el trabajo (no conservativo) realizado por los motores sobre la sonda durante el intervalo de tiempo que tarda ésta en duplicar su distancia inicial al centro del planeta.

3.10. Energía potencial lineal a tramos (Ex.Dic/11)

Una partícula de masa $m=1\,\mathrm {kg}$ se mueve a lo largo del eje OX, sometida a la acción de una fuerza conservativa cuya energía potencial es la de la gráfica. En el instante inicial se encuentra en $x=4\,\mathrm {m}$ moviéndose en el sentido positivo del eje OX con celeridad $v_{0}=2\,\mathrm {m/s}$ .

1. Halle la energía mecánica de la partícula.
2. Se detiene en algún punto, ¿en cuál? Una vez que retorna, ¿dónde se vuelve a detener?
3. Halle la fuerza sobre la partícula, así como su aceleración, en los dos puntos de retorno.
4. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula entre cada punto de retorno y $x=2\,\mathrm {m}$?
5. Suponga que la masa se ve sometida adicionalmente a una fuerza de rozamiento que la va frenando hasta detenerla por completo. ¿Dónde se detiene finalmente? ¿Cuánta energía mecánica se ha disipado desde el instante inicial hasta el instante en que la partícula se detiene definitivamente?

3.11. Partícula sujeta de dos hilos

Una masa m = 10 kg cuelga inicialmente de un hilo de 50 cm de longitud sujeto del techo a una distancia de 80 cm de la pared más cercana. Para evitar que el primer hilo se rompa, se afianza la masa sujetándola con un hilo adicional de 50 cm atado horizontalmente a la pared. Determine la tensión de cada hilo. ¿Ha aumentado o disminuido la tensión del hilo original?

3.12. Equilibrio de partícula en hélice

Una partícula de masa $m$ se encuentra sometida simultáneamente a su peso y a la fuerza atractiva de un resorte elástico de constante $k$ y longitud natural nula anclado en el origen de coordenadas. La partícula está ensartada sin rozamiento en la hélice de ecuaciones $x=A\,\mathrm {cos} (\theta ),$ $y=A\,\mathrm {sen} (\theta ),$ $z=b\,\theta /(2\pi )$.

1. Determine la posición de equilibrio de la partícula sobre la hélice.
2. Calcule la fuerza de reacción vincular que ejerce la hélice sobre la partícula en la posición de equilibrio.
3. Determine la energía potencial como función del parámetro $\theta \,$ y discuta la estabilidad de la posición de equilibrio.

3.13. Partícula motorizada en aro (Ex.Ene/13)

Una partícula $P\,$, de masa $m\,$, está ensartada sin rozamiento en un aro fijo de radio $R\,$, el cual se halla situado en el plano horizontal $OXY\,$ y tiene su centro en el origen de coordenadas $O\,$. Un motor ejerce una fuerza tangencial sobre la partícula, y como resultado ésta se mueve en sentido antihorario con una velocidad angular (escalar) que es función de la posición:

$\omega ={\sqrt {K\theta }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\theta \geq 0)$

donde $K\,$ es una constante positiva conocida, y el ángulo $\theta \,$ (definido en la figura) es el parámetro utilizado para describir la posición de la partícula sobre el aro.

1. Determine la aceleración angular en función de la posición. ¿Qué tipo de movimiento circular realiza la partícula?
2. Halle las componentes intrínsecas de la aceleración lineal en función de la posición.
3. Calcule el trabajo que realiza el motor sobre la partícula al moverse ésta desde $\theta =0\,$ hasta $\theta =(\pi /2)\,\mathrm {rad} \,$.
4. Determine la fuerza de reacción vincular ejercida por el aro sobre la partícula para la posición $\theta =(\pi /4)\,\mathrm {rad} \,$.

No Boletín - Cuatro bolitas ensartadas en un alambre liso (Ex.Ene/12)

Las cuatro bolitas de la figura (A, B, C y D) se hallan ensartadas en un alambre liso con forma de circunferencia, pudiendo deslizar sin rozamiento a lo largo del mismo. Se han dibujado a escala todas las fuerzas activas soportadas por A, B, C y D para las posiciones dadas. Por el contrario, no se muestran en el gráfico las fuerzas de reacción vincular.

¿Qué bolitas se encuentran en una posición de equilibrio?

No Boletín - Cuestión sobre curva de potencial (Ex.Ene/12)

Una partícula de masa $m\,$ se mueve en el eje $OX\,$ bajo la acción de una fuerza conservativa cuya curva de energía potencial $U\,$ es la representada (convergencia asintótica al nivel cero para $x\rightarrow \infty \,$). La energía mecánica $E\,$ de la partícula, también mostrada en la gráfica, es la recta horizontal que corta a la curva de energía potencial en $x=x_{1}\,$. Sabemos que en cierto instante $t=t_{0}\,$ la partícula se encuentra en el punto de coordenada $x=x_{0}\,$, el cual corresponde a un mínimo de energía potencial.

¿Qué sabemos con certeza sobre el movimiento que realizará dicha partícula para $t>t_{0}\,$? (NOTA: hay que elegir sólo una de las cuatro siguientes afirmaciones).

(a) Su celeridad para $t\rightarrow \infty \,$ será $v={\sqrt {2E/m}}\,.$

(b) Oscilará indefinidamente en torno a la posición de equilibrio $x=x_{0}\,.$

(c) Permanecerá indefinidamente en la posición de equilibrio $x=x_{0}\,.$

(d) Alcanzará la posición $x=x_{1}\,$ e invertirá el sentido de movimiento.

No Boletín - Cuestión sobre curva de potencial II (Ex.Ene/13)

Una partícula de masa $1\,\mathrm {kg} \,$ se mueve a lo largo del eje $OX\,$ bajo la acción de una fuerza conservativa cuya energía potencial $U\,$ es la representada en la gráfica. Sabemos que en el instante $t=t_{0}\,$ la partícula se halla en la posición $x_{0}=-8\,\mathrm {m} \,$ y tiene una celeridad $v_{0}=2\,\mathrm {m/s} \,$ en el sentido positivo del eje $OX\,$.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el movimiento de la partícula para $t>t_{0}\,$ es falsa? (NOTA: sólo una de las cuatro afirmaciones es falsa).

(a) Alcanzará un equilibrio inestable en la posición $x=-4\,\mathrm {m} \,$

(b) Nunca pasará por la posición $x=1\,\mathrm {m} \,$

(c) En algún momento entrará en la región $x<-8\,\mathrm {m} \,$

(d) Estará en reposo instantáneo en la posición $x=-7\,\mathrm {m} \,$

No Boletín - Cuestión sobre curva de potencial III (Ex.Ene/13)

Una partícula material se mueve en el eje $OX\,$ bajo la acción de una fuerza conservativa cuya energía potencial $U\,$ depende de la posición del modo que se indica en la gráfica. La energía mecánica $E\,$ de la partícula vale $3\,\mathrm {J} \,$.

Aun desconociendo su posición inicial, se puede asegurar con certeza que esta partícula en su movimiento ...

(a) ... pasa por tres posiciones de equilibrio.

(b) ... es imposible que alcance la posición $x=-4\,{\mbox{m}}\,$.

(c) ... alcanza un único punto de retorno.

(d) ... oscila entre las posiciones $x=-1\,\mathrm {m} \,$ y $x=1\,\mathrm {m} \,$.

Nota: Sólo es correcta una de las cuatro opciones.

No Boletín - Cuestión sobre curva de potencial IV (Ex.Jun/13)

Una partícula de masa 1 kg se mueve sobre el eje $OX\,$ sometida exclusivamente a una fuerza conservativa cuya energía potencial $U\,$ depende de la posición del modo que se indica en la gráfica. Se sabe que en el instante inicial la partícula tiene una celeridad $v_{0}=2\,\mathrm {m/s} \,$ y se halla en la posición $x_{0}=3\,\mathrm {m} \,$. ¿Cuánto vale la energía mecánica de la partícula? ¿Y la celeridad de la partícula en la posición $x=-2\,\mathrm {m} \,$?

No Boletín - Cuestión sobre curva de potencial V (Ex.Sep/14)

Una partícula se halla en el eje $OX\,$ sometida a la acción de una fuerza conservativa. La función energía potencial $U(x)\,$ y el nivel de energía mecánica $E\,$ de la partícula son los representados en la gráfica adjunta. ¿En qué posiciones está la partícula en reposo permanente?

No Boletín - Cuestión sobre curva de potencial VI (Ex.Ene/16)

Una partícula material se mueve en el eje $\,OX\,$ bajo la única acción de una fuerza conservativa. En la gráfica adjunta se representan la energía mecánica $E\,$ y la energía potencial $U(x)\,$ de la partícula para cierta región de interés.

Aun desconociendo su posición inicial, se puede asegurar con certeza que esta partícula ...

(1) ... tiene accesibles tres posiciones de equilibrio (A, B y D).

(2) ... es imposible que alcance ninguna posición a la derecha de C.

(3) ... estará en reposo instantáneo si alcanza la posición F.

(4) ... estará en equilibrio si alcanza la posición C.

Nota: Sólo es correcta una de las cuatro opciones.

No Boletín - Cuestión sobre curva de potencial VII (Ex.Ene/20)

Una partícula se mueve en el eje $\,OX\,$ bajo la acción de una fuerza conservativa. La función energía potencial $U(x)\,$ y el nivel de energía mecánica $E\,$ de la partícula son los representados en la gráfica adjunta. La partícula se halla inicialmente en la posición $\,x=x_{0}\,$ (ver gráfica), que corresponde a uno de los puntos de corte de $E\,$ y $U(x)\,$.

¿Por cuántas posiciones de equilibrio distintas pasará sin detenerse la partícula en su movimiento?

No Boletín - Cuestión sobre integral primera (Ex.Ene/13)

En el sistema de referencia $OXYZ\,$ de la figura, la partícula $P\,$ se mueve bajo la acción de su propio peso y vinculada sin rozamiento a una superficie esférica fija de radio $R\,$ y centro en el punto $O\,$ (la ecuación de ligadura es $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\,$).

¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas de la partícula $P\,$ se conserva necesariamente constante durante el movimiento? (NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta).

(a) La componente-$z\,$ de su momento cinético respecto al punto $O\,$

(b) Su cantidad de movimiento

(c) Su energía cinética

(d) Su momento cinético respecto al punto $O\,$

No Boletín - Cuestión sobre integral primera II (Ex.Ene/15)

Una partícula $P\,$ de masa $m\,$ se mueve en el plano $OXY\,$. Su trayectoria es la circunferencia de radio $R\,$ y centro en el punto $O(0,0)\,$. La partícula soporta una única fuerza ${\vec {F}}\,$, cuya recta de acción pasa permanentemente por el punto $C(-R,0)\,$. Como parámetro descriptivo del movimiento, se utiliza el ángulo $\theta (t)\,$ de la figura, que satisface las condiciones iniciales $\theta (0)=0\,\,\,$ y $\,\,{\dot {\theta }}(0)=\Omega \,$.

1. Si ${\vec {v}}\,$ es la velocidad instantánea de la partícula, ¿cuál de las siguientes magnitudes es una integral primera del movimiento de $P\,\,$? (NOTA: sólo lo es una de las cuatro). $\mathrm {(a)} \,\,\,\,m\,{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(b)} \,\,\,\,{\overrightarrow {OP}}\times m{\vec {v}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(c)} \,\,\,\,{\overrightarrow {CP}}\times m{\vec {v}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(d)} \,\,\,\,m{\vec {v}}$
2. A partir de la integral primera del apartado anterior, deduzca la relación existente entre ${\dot {\theta }}\,$ y $\theta \,$ durante el movimiento.

No Boletín - Cuestión sobre reacción vincular de alambre rectilíneo liso (Ex.Ene/15)

Una anilla, de dimensiones despreciables (considérese puntual) y de masa $2\,\,\mathrm {kg} \,$, desliza sin rozamiento a lo largo de un alambre rectilíneo en el que se halla ensartada. En cierto instante, se ha representado gráficamente la posición de la anilla, así como su aceleración ($\,{\vec {a}}\,\,$) y todas las fuerzas activas que soporta (${\vec {F}}_{1}\,$ y ${\vec {F}}_{2}\,$). Sin embargo, se ha dejado sin representar la fuerza de reacción vincular (${\vec {\Phi }}\,$) que ejerce el alambre liso sobre la anilla. La cuadrícula de los diagramas corresponde a la unidad en el SI (Sistema Internacional) de cada magnitud vectorial.

¿Cuál de los siguientes diagramas es el correcto?

No Boletín - Cuestión sobre reacción vincular de aro liso (Ex.Feb/14)

Una partícula material, de masa $1\,\,\mathrm {kg} \,$, desliza sin rozamiento por el interior de un aro circular. En cierto instante, se ha representado gráficamente la posición de la partícula, así como su aceleración y todas las fuerzas activas que soporta. Sin embargo, se ha dejado sin representar la fuerza de reacción vincular que ejerce el aro liso sobre la partícula. La cuadrícula de los diagramas corresponde a la unidad en el SI (Sistema Internacional) de cada magnitud vectorial.

¿Cuál de los siguientes diagramas es el correcto?

No Boletín - Ecuaciones horarias en coordenadas polares (Ex.Feb/14)

El movimiento de una partícula $P\,$, de masa $m\,$, en el plano $OXY\,$ queda descrito en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:

$\rho (t)=2R\,[1+\mathrm {cos} (\Omega t)]\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\theta (t)=\Omega t$

siendo $R\,$ y $\Omega \,$ constantes positivas conocidas.

1. Determine la velocidad y la aceleración de la partícula en componentes polares.
2. Halle las componentes intrínsecas de la aceleración de la partícula, y el radio de curvatura de su trayectoria.
3. Calcule la energía cinética de la partícula, y la potencia instantánea desarrollada por la fuerza neta que actúa sobre la partícula.
4. ¿Es el movimiento de la partícula un movimiento central con centro en el origen de coordenadas $O\,$? Razone la respuesta.

No Boletín - Ecuaciones horarias en coordenadas polares II (Ex.Ene/16)

El movimiento de una partícula $\,P\,$, de masa $\,m\,$, en el plano $\,OXY\,$ queda descrito en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:

$\rho (t)=\rho _{0}\,(1+c\,t)\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\theta (t)=\mathrm {ln} \,(1+c\,t)$

siendo $\,\rho _{0}\,$ y $\,c\,$ constantes positivas conocidas.

1. Determine la velocidad y la aceleración de la partícula (en la base polar $\,\{{\vec {u}}_{\rho },{\vec {u}}_{\theta }\}\!\,$).
2. Halle las componentes intrínsecas de la aceleración de la partícula, y el radio de curvatura de su trayectoria.
3. Determine los vectores $\,{\overrightarrow {T}}\,$ y $\,{\overrightarrow {N}}\,$ del triedro intrínseco de la trayectoria de la partícula (en la base polar $\,\{{\vec {u}}_{\rho },{\vec {u}}_{\theta }\}\!\,$).
4. Calcule la energía cinética de la partícula, y la potencia desarrollada por la fuerza neta que actúa sobre ella. ¿Es la energía cinética una integral primera del movimiento?
5. Calcule el momento cinético de la partícula respecto al punto $\,O.\,$ ¿Es el movimiento de la partícula un movimiento central con centro en $\,O\,$? Razone la respuesta.

No Boletín - Equilibrio de partícula en parábola

Una partícula de masa $m$ se encuentra sometida simultáneamente a su peso y a la fuerza atractiva de un resorte de constante $k$ y longitud natural nula anclado en el punto ${\vec {r}}_{0}={\vec {0}}$. La partícula está ensartada en la parábola $y=0$, $z=-x^{2}/(2b)$.

1. Determine la(s) posición(es) de equilibrio de la masa sobre la parábola.
2. Calcule la fuerza de reacción vincular de la parábola sobre la partícula en la(s) posición(es) de equilibrio.
3. Trace la curva de la energía potencial como función de la coordenada $x$ y discuta la estabilidad de las posibles posiciones de equilibrio.

No Boletín - Fuerza neta sobre un vehículo en una curva (Ex.Sep/15)

Un vehículo (masa $m\,$) está saliendo de una curva, y su celeridad ($v=|{\vec {v}}\,|\,$) está aumentando. ¿Cuál de los siguientes diagramas representa correctamente la dirección y el sentido de la fuerza neta (${\vec {F}}\,$) que actúa sobre dicho vehículo?

No Boletín - Movimiento central en coordenadas polares (Ex.Dic/12)

El movimiento de una partícula en un plano $OXY\,$ (para $t>0\,$) viene dado en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:

$\rho (t)=C_{1}\,t^{n}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\theta (t)=C_{2}\,t^{3/5}$

donde $C_{1}\,$ y $C_{2}\,$ son constantes conocidas. Sabiendo que la fuerza que actúa sobre la partícula es central con centro en el origen de coordenadas, ¿cuál es necesariamente el valor del exponente $n\,$?

No Boletín - Movimiento rectilíneo por tramos

Una partícula de masa $m$, realiza un movimiento rectilíneo sobre la parte positiva de un eje cartesiano OX. Cuando la distancia entre la partícula y el origen $O$ supera una cierta longitud $b$ conocida, la partícula es atraída hacia $O$ por una fuerza de módulo $mk/x^{2}$ (siendo $k$ una constante); pero, sin embargo, cuando $x<b$, la partícula es repelida desde $O$ por una fuerza de módulo $mbk/x^{3}$.

1. Determine y represente gráficamente la energía potencial de la partícula en función de su coordenada $x$ (considerando que dicha función es nula en el infinito y exigiendo su continuidad en $x=b$).
2. Sabiendo que la partícula inicia su movimiento desde el reposo instantáneo en el punto $P_{0}$ de coordenada $x=2b$, determine su energía mecánica.
3. ¿En qué otro punto alcanzará la partícula el reposo instantáneo (punto de retorno)?

No Boletín - Muelle en plano inclinado (Ex.Nov/10)

Una partícula de masa $m$ se halla inicialmente en reposo a una altura $h$ (punto $O$). La partícula comienza a deslizar sin rozamiento sobre un plano inclinado un ángulo $\alpha =\pi /6\,$ rad, bajo la acción de su propio peso y manteniéndose conectada con el punto $O$ mediante un resorte de constante $k$ y longitud natural nula.

1. ¿Qué distancia recorre la partícula hasta que se para por primera vez?
2. Cuando la partícula se encuentra a una distancia $s$ de $O$, ¿cuánto vale el módulo de la fuerza de reacción vincular?

No Boletín - Muelle en plano inclinado II (Ex.Ene/19)

Una partícula $P\,$, de masa $m\,$, desliza sin rozamiento a lo largo de una rampa de inclinación $\theta \,$ respecto a la horizontal. Durante su movimiento, la partícula $P\,$ está sometida a la acción de su propio peso y es solicitada desde un punto fijo $O\,$ (ver figura) mediante un resorte elástico $OP\,$ de constante recuperadora $k\,$ y longitud natural $l_{0}\,$. Se describe la posición de la partícula $P\,$ mediante su coordenada $x\,$ en la escuadra $OXY\,$ de la figura.

1. ¿Cuánto vale la fuerza vincular ${\vec {\Phi }}\,$ que la rampa ejerce sobre la partícula $P\,$?
2. ¿Qué ecuación diferencial satisface la función $x(t)\,$ que describe la posición de la partícula $P\,$ en cada instante?
3. ¿Cuál es la posición de equilibrio de la partícula $P\,$?

No Boletín - Partícula cae por rampa e impacta en muelle (Ex.Sep/12)

Una partícula de masa $m\,$ desliza sin rozamiento a lo largo de una rampa bajo el efecto de su propio peso. En el instante inicial, la partícula se halla en reposo en el punto más alto de la rampa, a una altura $h\,$. Al final de la rampa y apoyado sobre ella, hay un resorte elástico OA de constante recuperadora $k\,$ y longitud natural $l_{0}\,$. Su extremo O está fijo (punto de anclaje), y su extremo libre A descansa sobre la rampa, a una altura $h/6\,$ cuando el resorte está relajado.

1. ¿Con qué celeridad $v\,$ entrará en contacto la partícula con el extremo A del resorte?
2. ¿Cuánto vale la constante $k\,$ del resorte si la partícula llega hasta el final de la rampa (punto O) con celeridad nula?

No Boletín - Partícula colgada de dos hilos (Ex.Dic/11)

Una partícula de peso 300 N cuelga de un techo horizontal sujeta por dos hilos ("1" y "2"). El hilo "1" forma un ángulo de 30º con la vertical, mientras que el hilo "2" forma uno de 60º con la vertical. ¿Cuánto valen, en módulo, las tensiones de los dos hilos?

No Boletín - Partícula en aro (Ex.Sep/15)

En el plano vertical $\,OXY\,$ (gravedad: ${\vec {g}}=-g\,{\vec {\jmath }}\,$) se halla una partícula $P\,$, de masa $\,m\,$, ensartada sin rozamiento en un aro fijo de radio $\,R\,$ y centro en $O\,$. Dicha partícula está conectada a una guía vertical fija (de ecuación $\,x=-R\,$) mediante un resorte elástico $\,QP\,$ de constante recuperadora $\,k=2mg/R\,$ y longitud natural $\,l_{0}=R.\,$ El extremo $\,Q\,$ se desplaza sobre la citada guía de tal modo que el resorte $\,QP\,$ permanece en todo instante paralelo al eje $OX.\,$

Se propone la coordenada acimutal $\,\theta \,$ (definida en la figura) para describir la posición de la partícula $\,P\,$, así como la base polar $\,\{{\vec {u}}_{\rho },{\vec {u}}_{\theta }\}\,$ para expresar las magnitudes vectoriales.

1. Plantee la segunda ley de Newton para la partícula $P\,$ en la base polar y, separando componentes, obtenga: (a) La ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función $\,\theta (t).\,$ (b) La fuerza de reacción vincular $\,{\vec {\Phi }}(\theta ,{\dot {\theta }})\,$ que ejerce el aro sobre la partícula.
2. Deduzca razonadamente (mediante algún teorema de conservación) una integral primera del movimiento de la partícula $\,P\,$, exprésela como una función de $\,\theta \,$ y $\,{\dot {\theta }}\,$, y determine su valor constante para el supuesto de que la partícula se encuentre inicialmente en reposo en la posición $\,\theta =0.\,$
3. Halle todas las posiciones de equilibrio mecánico de la partícula $\,P\,$, y clasifíquelas según correspondan a equilibrio estable o inestable.

No Boletín - Partícula en semicircunferencia (Ex.Dic/12)

En el plano vertical $OXZ\,$ (gravedad: ${\vec {g}}=-g\,{\vec {k}}\,$), se halla una partícula $P\,$, de masa $m\,$, ensartada sin rozamiento en la semicircunferencia fija, de radio $R\,$, que se muestra en la figura. Dicha partícula es solicitada desde el eje $OZ\,$ por un resorte elástico $QP\,$, de constante recuperadora $k=2mg/R\,$ y longitud natural nula. El extremo $Q\,$ se puede desplazar sobre el eje $OZ\,$, de tal modo que el resorte permanece en todo instante paralelo al eje $OX\,$.

Utilizando la coordenada acimutal $\theta \,$ para describir la posición de la partícula, y la base polar $\{{\vec {u}}_{\rho },{\vec {u}}_{\theta }\}\,$ para expresar las magnitudes vectoriales, se pide:

1. Determinar la posición de equilibrio existente en el intervalo $-\pi /2<\theta <\pi /2\,$, así como la fuerza de reacción vincular que soportaría la partícula si se hallase en equilibrio en dicha posición.
2. Expresar la energía potencial de la partícula como una función de $\theta \,$, y discutir si la posición de equilibrio del apartado anterior es estable o inestable.
3. Deducir razonadamente (mediante algún teorema de conservación) una integral primera del movimiento de la partícula, expresarla como una función de $\theta \,$ y ${\dot {\theta }}\,$, y determinar su valor constante para el caso en que las condiciones iniciales sean: $\theta (0)=-\pi /2\,$, ${\dot {\theta }}(0)={\sqrt {2g/R}}\,$.

No Boletín - Partícula en varilla ranurada móvil (Ex.Ene/20)

La varilla $OA\,$ , ranurada longitudinalmente y contenida en el plano horizontal $OXY\,$, rota alrededor del eje fijo $OZ\,$ de tal modo que el ángulo que forma la misma con el eje $OX\,$ viene dado en función del tiempo por la expresión $\,\theta =\Omega \,t\,$ (donde $\,\Omega \,$ es una constante conocida). Una partícula $P\,$ de masa $m\,$ se encuentra confinada en la ranura de la citada varilla, pudiendo deslizar sin rozamiento a lo largo de ella, y estando sometida a la acción de un resorte elástico (de constante $k\,$ y longitud natural nula) con anclaje en el punto fijo $B(b,0,0)\,$. En la figura se definen las coordenadas polares $\{\rho ,\theta \}\,$ de la partícula $P\,$ , así como la base ortonormal $\{{\vec {u}}_{\rho },{\vec {u}}_{\theta }\}\,$ asociada a las mismas. En lo que sigue, denominaremos ${\vec {v}}\,$ y ${\vec {a}}\,$ , respectivamente, a la velocidad y a la aceleración de la partícula $P\,$ respecto al triedro fijo $OXYZ\,$.

Nota: Obsérvese que la varilla $OA\,$ constituye un vínculo liso y reónomo sobre la partícula $P\,$.

1. ¿Cuál de las siguientes condiciones ha de ser verificada en todo instante por la fuerza vincular ${\vec {\Phi }}\,$ que ejerce la varilla $OA\,$ sobre la partícula $P\,$ ? $\mathrm {(1)} \,\,\,{\vec {\Phi }}\cdot {\vec {u}}_{\theta }=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(2)} \,\,\,{\vec {\Phi }}\cdot {\vec {v}}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(3)} \,\,\,{\vec {\Phi }}\cdot {\vec {u}}_{\rho }=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(4)} \,\,\,{\vec {\Phi }}\times {\vec {a}}={\vec {0}}$
2. Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial ${\vec {u}}_{\rho }\,$ , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función $\rho (t)\,$ que da la coordenada radial de la partícula $P\,$ en cada instante.
3. ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula? $\mathrm {(1)} \,\,\,\mathrm {ninguna} \,\,\mathrm {de} \,\,\mathrm {las} \,\,\mathrm {otras} \,\,\mathrm {tres} \,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(2)} \,\,\,(m\,{\vec {v}}\,\cdot \,{\vec {v}}\,+\,k\,{\overrightarrow {BP}}\,\cdot \,{\overrightarrow {BP}}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(3)} \,\,\,{\overrightarrow {BP}}\,\times \,m\,{\vec {v}}\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(4)} \,\,\,m\,{\vec {v}}\,\cdot \,{\vec {v}}/2$

No Boletín - Partícula motorizada en hélice (Ex.Ene/15)

Una partícula $P\,$, de masa $m\,$, se encuentra ensartada sin rozamiento en la hélice $\Gamma \,$ de la figura. Esto permite que la posición de la partícula (respecto al triedro cartesiano $OXYZ\,$) pueda describirse mediante las ecuaciones $\theta \,$-paramétricas de dicha hélice vincular:

${\overrightarrow {OP}}={\vec {r}}(\theta )=R\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}+h\theta \,{\vec {k}}$

donde $R\,$ y $h\,$ son constantes positivas conocidas.

Además de soportar la acción gravitatoria ($m{\vec {g}}\,$) y la fuerza de reacción vincular (${\vec {\Phi }}\,$) ejercida por la hélice lisa, la partícula es empujada en sentido ascendente por una fuerza motora tangente al vínculo (${\vec {F}}_{\mathrm {mot} }=F_{\mathrm {mot} }{\overrightarrow {T}}\,$). Como resultado de todo ello, la partícula sube a lo largo de la hélice con celeridad constante $v_{0}\,$, partiendo en el instante inicial ($t=0\,$) desde la posición $\theta =0\,$.

1. Halle la ley horaria $\theta (t)\,$ con la que la partícula $P\,$ recorre la hélice $\Gamma \,$.
2. Calcule (en función de $\theta \,$) las componentes tangencial y normal de la aceleración de la partícula $P\,$, así como los vectores tangente unitario y normal principal del triedro intrínseco de su trayectoria.
3. Proyectando la ecuación de la segunda ley de Newton sobre la dirección tangente a la hélice, determine el módulo de la fuerza motora ($F_{\mathrm {mot} }\,$) que actúa sobre la partícula $P\,$. ¿Qué trabajo total realiza dicha fuerza motora entre el instante inicial y el instante en el que la partícula $P\,$ alcanza la posición $\theta =2\pi \,$?
4. Calcule la componente vertical del momento cinético de la partícula $P\,$ respecto al origen de coordenadas $O\,$, y explique por qué dicha componente resulta independiente del tiempo.

No Boletín - Partícula que cuelga de un hilo (Ex.Sep/14)

La barra rígida $AB\,$ -de longitud $L\,$ y masa despreciable- se mueve en el plano vertical $OXY\,$, hallándose articulada en su extremo $A\,$ a un punto del eje vertical cuya posición es ${\overrightarrow {OA}}=L{\vec {\jmath }}\,$. Un hilo inextensible de longitud $2L\,$ tiene uno de sus extremos fijo en el origen del sistema de coordenadas (punto $O\,$), mientras que del otro extremo cuelga una partícula $P\,$ de masa $m\,$. El hilo se mantiene siempre tenso, se apoya sobre una pequeña polea de radio despreciable situada en el extremo $B\,$ de la barra, y en su tramo ${\overline {BP}}\,$ permanece en todo instante paralelo al eje $OY\,$ (ver figura). Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se define el ángulo $\theta \,$ que forman el tramo ${\overline {OB}}\,$ del hilo y el eje vertical $OY\,$ (considérese $0\leq \theta <\pi /2\,$).

1. Halle razonadamente el vector de posición de la partícula ${\overrightarrow {OP}}\,$ en función del parámetro $\theta \,$, así como la velocidad instantánea de la misma en función de $\theta \,$ y ${\dot {\theta }}\,$.
2. Suponga que se verifica la ley horaria $\theta (t)=\Omega t\,$ (donde $\Omega \,$ es una constante positiva conocida). Sabiendo que en tal caso la velocidad instantánea de la partícula $P\,$ viene dada por: ${\vec {v}}(t)=C\left\{\mathrm {cos} (2\Omega t)\,{\vec {\imath }}-[\mathrm {sen} (2\Omega t)+\,\mathrm {sen} (\Omega t)]\,{\vec {\jmath }}\,\right\}$ donde $C\,$ es otra constante positiva conocida, determine las componentes intrínsecas (tangencial y normal) de la aceleración de la partícula en el instante $t=\pi /(4\Omega )\,$, así como el trabajo neto realizado sobre la partícula en el intervalo de tiempo transcurrido entre $t=0\,$ y $t=\pi /(3\Omega )\,$.
3. Suponga que la partícula $P\,$ realiza el movimiento descrito en el apartado anterior bajo la acción de tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que le ejerce el hilo y una fuerza aplicada con la mano (esta última es necesaria para garantizar que el hilo permanezca siempre tenso y con su tramo ${\overline {BP}}\,$ vertical). Calcule la componente horizontal de la fuerza aplicada con la mano en función del tiempo.

No Boletín - Partícula que desliza apoyada sobre semiaro (Ex.Ene/16)

Sea un semiaro fijo, de radio $\,R\,$ y centro de curvatura $\,O\,$, contenido en el plano vertical $\,OY\!Z\,$ (ver figura). La partícula $\,P\,$ de masa $\,m\,$, inicialmente en reposo apoyada sobre el punto más alto del semiaro, sufre una leve perturbación y comienza a deslizar sobre él sin rozamiento y bajo la acción de su propio peso (aceleración gravitatoria: $\,{\vec {g}}=-g\,{\vec {k}}\,$). El deslizamiento continúa hasta cierta posición en la que se observa que la partícula pierde el contacto con el semiaro. Utilícese la coordenada acimutal $\,\theta \,$ de la figura para describir la posición de la partícula sobre el semiaro, y la base polar $\{{\vec {u}}_{\rho },{\vec {u}}_{\theta }\}\,$ para expresar las magnitudes vectoriales.

1. Halle la celeridad de la partícula mientras desliza sobre el semiaro.
2. Determine la fuerza de reacción vincular que el semiaro ejerce sobre la partícula durante su deslizamiento.
3. ¿En qué posición pierde la partícula el contacto con el semiaro?

No Boletín - Partícula sujeta por dos hilos realizando un m.c.u. (Ex.Feb/17)

Una partícula $P\,$, de masa $m\,$, describe con celeridad constante una circunferencia horizontal de radio $R\,$ y centro en $O\,$. La partícula realiza dicho movimiento circular y uniforme bajo la acción de su propio peso ($m{\vec {g}}\,$) y de las dos fuerzas (${\vec {\Phi }}_{A}\,$ y ${\vec {\Phi }}_{B}\,$) que le ejercen, respectivamente, sendos hilos tensos de idéntica longitud y anclados en los puntos $A\,$ y $B\,$ del eje $OZ\,$ (puntos equidistantes del punto $O\,$).

Sea $\theta \,$ el ángulo que forma cada uno de los dos hilos con el plano horizontal durante el movimiento de $P\,$ (ver figura).

Se sabe que el módulo de la fuerza ejercida por el hilo superior (el anclado en $B\,$) es el cuádruple del módulo de la fuerza ejercida por el hilo inferior (el anclado en $A\,$):

$|{\vec {\Phi }}_{B}|=4\,|{\vec {\Phi }}_{A}|$

Se pide:

1. El módulo $|{\vec {\Phi }}_{A}|\,$ de la fuerza ejercida por el hilo inferior.
2. El módulo $|\,{\vec {\omega }}\,|\,$ de la velocidad angular de la partícula $P\,$.

No Boletín - Partícula unida a dos muelles (Ex.Feb/14)

Una partícula $P\,$, de masa $m\,$, se mueve en el eje $OX\,$ sometida exclusivamente a las fuerzas que ejercen sobre ella dos resortes elásticos ideales. Ambos resortes tienen longitud natural nula, pero uno de ellos ($OP\,$) está anclado en el origen de coordenadas $O\,$ y tiene constante elástica $k\,$, mientras que el otro ($AP\,$) está anclado en el punto $A\,$ de coordenada $x_{_{\!A}}\!=L\,\,$ y tiene constante elástica $2k\,$.

1. ¿Cuál es la posición de equilibrio?
2. ¿Qué celeridad máxima alcanzará la partícula en su movimiento si en el instante inicial se halla en reposo en el punto medio entre $O\,$ y $A\,$?

No Boletín - Partícula unida a un muelle (Ex.Sep/14)

Una partícula de masa $m\,$ se halla sujeta al extremo de un muelle cuyo otro extremo permanece fijo. El muelle tiene constante elástica $k\,$ y, bajo su acción exclusiva, la partícula realiza un movimiento armónico simple. ¿Qué relación existe entra la celeridad máxima $v_{\mathrm {max} }\,$ que alcanza la partícula durante el movimiento y la amplitud $A\,$ de su oscilación?

No Boletín - Péndulo cónico (Ex.Ene/13)

Se denomina péndulo cónico a un péndulo simple cuya masa puntual, en lugar de oscilar en un plano vertical, realiza un movimiento circular uniforme en un plano horizontal (ver figura). Considere que la masa puntual es $m\,$, la longitud del péndulo es $L\,$, el ángulo que forma el hilo con la vertical es $\theta \,$ y la gravedad es $g\,$.

1. ¿Con qué celeridad se mueve la masa puntual?
2. ¿Cuál es el módulo de la tensión del hilo?

No Boletín - Péndulo simple (Ex.Ene/18)

Considérese un péndulo simple, constituido por una partícula $P\,$ (de masa $m\,$) que se halla suspendida de un punto fijo $O\,$ mediante un hilo inextensible (de longitud $L\,$ y masa despreciable). Bajo la acción de su propio peso, la partícula $P\,$ oscila en el plano vertical fijo $OXY\,$ (aceleración gravitatoria: ${\vec {g}}=g\,{\vec {\imath }}\,$). Se propone la coordenada acimutal $\theta \,$ (definida en la figura) para describir la posición de la partícula $P\,$, así como la base polar $\{{\vec {u}}_{\rho },{\vec {u}}_{\theta }\}\,$ para expresar las magnitudes vectoriales.

1. De la segunda ley de Newton aplicada a la partícula $P\,$ y proyectada sobre la dirección acimutal, deduzca la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función $\theta (t)\,$.
2. Y de la misma ley, pero proyectada sobre la dirección radial, deduzca el módulo de la tensión del hilo.
3. Deduzca una integral primera del movimiento de la partícula $P\,$ aplicando algún teorema de conservación.

No Boletín - Velocidad y tipo de movimiento a partir de la fuerza (Ex.Dic/12)

Una partícula de masa $m\,$, inicialmente en reposo en el origen de coordenadas, soporta la acción de una única fuerza:

${\vec {F}}=(A-Bt)\,{\vec {\jmath }}$

donde $A\,$ y $B\,$ son dos constantes conocidas.

1. Determine la velocidad instantánea de la partícula.
2. ¿Qué tipo de movimiento realiza la partícula?