Sonda espacial

Enunciado

Una sonda espacial, considerada como un punto material $P\,$ de masa $m\,$, se mueve en el plano OXY (descrito mediante las coordenadas polares $\rho \,$ y $\theta \,$ de la figura) cuyo origen $O\,$ coincide con el centro de un planeta de radio $R\,$. Éste ejerce sobre la sonda una fuerza de atracción gravitatoria conservativa, cuya energía potencial asociada viene dada por la expresión:

$U(\rho )=-{\frac {\gamma m}{\rho }}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm {(} \gamma \,\,\mathrm {es} \,\,\mathrm {una} \,\,\mathrm {constante} \,\,\mathrm {conocida)}$

Mediante la acción de sus motores, la sonda es puesta en órbita desde la superficie del planeta siguiendo la espiral logarítmica de ecuaciones horarias:

$\rho (t)=R\,e^{\lambda \omega t}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\theta (t)=\omega t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm {(} \lambda \,\,\mathrm {y} \,\,\omega \,\,\mathrm {son} \,\,\mathrm {constantes} \,\,\mathrm {conocidas)}$

Despreciando las posibles fuerzas de fricción sobre la sonda, así como las pérdidas de masa asociadas al gasto de combustible, se pide:

1. Deducir razonadamente si el movimiento de la sonda es o no es un movimiento central con centro en $O\,$.
2. Comprobar que la energía cinética de la sonda responde a la expresión $K=C\rho ^{2}\,$, determinando el valor de la constante $C\,$ en función de las constantes conocidas del problema.
3. Aplicando el teorema de la energía mecánica, determinar el trabajo (no conservativo) realizado por los motores sobre la sonda durante el intervalo de tiempo que tarda ésta en duplicar su distancia inicial al centro del planeta.

¿Es un movimiento central con centro en el punto O?

Si el movimiento de la sonda tuviese lugar bajo una fuerza neta central con centro en $O\,$, entonces su momento cinético (y su velocidad areolar) respecto a dicho punto $O\,$ serían constantes a lo largo del tiempo. Comprobemos si ocurre o no tal cosa.

Sustituyendo las expresiones generales (en coordenadas polares) de los vectores de posición y velocidad de una partícula

${\begin{array}{rcl}{\vec {r}}&=&\rho \,{\vec {u}}_{\rho }\\{\vec {v}}&=&{\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}$

en la definición del momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas $O\,$, se obtiene:

${\vec {L}}_{O}=2m{\vec {V}}_{A}={\vec {r}}\times m{\vec {v}}=\rho \,{\vec {u}}_{\rho }\times m({\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta })=m\rho ^{2}{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}$

Conocemos $\rho \,$ en función del tiempo (ecuación horaria radial), y determinamos ${\dot {\theta }}=\omega \,$ derivando respecto al tiempo la ecuación horaria acimutal. Y sustituyendo en la expresión del momento cinético, se obtiene:

${\vec {L}}_{O}=2m{\vec {V}}_{A}=m\rho ^{2}{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}=m\omega R^{2}e^{2\lambda \omega t}\,{\vec {k}}$

Observamos que el momento cinético (y la velocidad areolar) respecto a $O\,$ varía con el tiempo. Concluimos, por tanto, que el movimiento de la sonda NO es central con centro en $O\,$.

Energía cinética

La energía cinética $K\,$ de la sonda se puede expresar en función de las coordenadas polares y de sus primeras derivadas respecto al tiempo:

$K={\frac {1}{2}}\,mv^{2}={\frac {1}{2}}\,m({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})={\frac {1}{2}}\,m({\dot {\rho }}^{2}+\rho ^{2}{\dot {\theta }}^{2})$

Calculando ${\dot {\rho }}\,$ por derivación de la ecuación horaria radial:

${\dot {\rho }}=\lambda \,\omega Re^{\lambda \,\omega \,t}=\lambda \,\omega \rho$

y sustituyendo ${\dot {\rho }}\,$ y ${\dot {\theta }}\,$ en la expresión de la energía cinética, queda:

$K={\frac {1}{2}}\,m(\lambda ^{2}\omega ^{2}\rho ^{2}+\omega ^{2}\rho ^{2})={\frac {1}{2}}\,m(\lambda ^{2}+1)\,\omega ^{2}\rho ^{2}$

Por tanto, la energía cinética de la sonda resulta ser proporcional al cuadrado de su distancia al centro del planeta:

$K=C\rho ^{2}\,$

donde se ha denominado $C\,$ a la siguiente constante:

$C=\displaystyle {\frac {1}{2}}\,m(\lambda ^{2}+1)\,\omega ^{2}$

Trabajo (no conservativo)

Dado que el enunciado del problema nos permite despreciar las fuerzas de fricción, las únicas fuerzas que realizan trabajo sobre la sonda durante su movimiento son la gravitatoria ejercida por el planeta (conservativa) y la fuerza motora (no conservativa). Al estar trabajando una fuerza no conservativa, sabemos que la energía mecánica de la sonda (suma de su energía cinética y su energía potencial gravitatoria) no se va a conservar constante en el tiempo. La variación de dicha energía mecánica será precisamente igual al trabajo realizado por la fuerza motora no conservativa.

Por tanto, para determinar el trabajo $W^{\mathrm {nc} }\,$ realizado por los motores durante el intervalo de tiempo en el que la sonda duplica su distancia inicial al centro del planeta (es decir, pasa de $\rho =R\,$ a $\rho =2R\,$), basta calcular la variación de su energía mecánica $\Delta E\,$ durante dicho intervalo:

$W^{\mathrm {nc} }=\Delta E=\Delta K+\Delta U=[K(2R)-K(R)]+[U(2R)-U(R)]=C(4R^{2}-R^{2})-\gamma m\left(\displaystyle {\frac {1}{2R}}-{\frac {1}{R}}\right)=$

$=3\,CR^{2}+\displaystyle {\frac {\gamma m}{2R}}$

siendo $C\,$ la constante definida al final del apartado anterior.