No Boletín - Péndulo simple (Ex.Ene/18)

Enunciado

Considérese un péndulo simple, constituido por una partícula $P\,$ (de masa $m\,$) que se halla suspendida de un punto fijo $O\,$ mediante un hilo inextensible (de longitud $L\,$ y masa despreciable). Bajo la acción de su propio peso, la partícula $P\,$ oscila en el plano vertical fijo $OXY\,$ (aceleración gravitatoria: ${\vec {g}}=g\,{\vec {\imath }}\,$). Se propone la coordenada acimutal $\theta \,$ (definida en la figura) para describir la posición de la partícula $P\,$, así como la base polar $\{{\vec {u}}_{\rho },{\vec {u}}_{\theta }\}\,$ para expresar las magnitudes vectoriales.

1. De la segunda ley de Newton aplicada a la partícula $P\,$ y proyectada sobre la dirección acimutal, deduzca la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función $\theta (t)\,$.
2. Y de la misma ley, pero proyectada sobre la dirección radial, deduzca el módulo de la tensión del hilo.
3. Deduzca una integral primera del movimiento de la partícula $P\,$ aplicando algún teorema de conservación.

Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y tensión del hilo

Sobre la partícula $\,P\,$ actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (su peso $\,m{\vec {g}}\,$) y otra de reacción vincular (la tensión $\,{\overrightarrow {T}}\,$ ejercida por el hilo). La tensión $\,{\overrightarrow {T}}\,$ tiene la dirección del propio hilo (dirección radial) y su sentido es atractivo hacia el extremo fijo $O\,$ (vínculo unilateral). Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:

$\left\{{\begin{array}{l}m{\vec {g}}=mg\,{\vec {\imath }}=mg\,[\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {u}}_{\rho }-\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {u}}_{\theta }\,]\\\\{\overrightarrow {T}}=-T\,{\vec {u}}_{\rho }\end{array}}\right.$

La aceleración de la partícula expresada en la base polar viene dada en general por:   $\,{\vec {a}}=({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\theta }}^{\,2})\,{\vec {u}}_{\rho }+(2\,{\dot {\rho }}\,{\dot {\theta }}+\rho \,{\ddot {\theta }}\,)\,{\vec {u}}_{\theta }$ pero al particularizar para la trayectoria circular:    $\,\,\rho =L\,\,\mathrm {(cte)} \,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\dot {\rho }}=0\,\,\mathrm {(cte)} \,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\ddot {\rho }}=0\,$,   queda:   ${\vec {a}}=-\,L\,{\dot {\theta }}^{\,2}\,{\vec {u}}_{\rho }+L\,{\ddot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }$

Planteamos la segunda ley de Newton:   $m{\vec {g}}+{\overrightarrow {T}}=m\,{\vec {a}}$   y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:

$\left\{{\begin{array}{l}mg\,\mathrm {cos} (\theta )-T=-\,m\,L\,{\dot {\theta }}^{\,2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\\\-mg\,\mathrm {sen} (\theta )=m\,L\,{\ddot {\theta }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array}}\right.$

La ecuación (2) nos permite obtener la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función $\,\theta (t)$:

$\mathrm {(2)} \,\,\,\longrightarrow \,\,\,L\,{\ddot {\theta }}+g\,\mathrm {sen} (\theta )=0$

El módulo $T\,$ de la tensión que ejerce el hilo sobre la partícula se obtiene despejando en la ecuación (1):

$\mathrm {(1)} \,\,\,\longrightarrow \,\,\,T=m\,[L\,{\dot {\theta }}^{\,2}+g\,\mathrm {cos} (\theta )]$

Integral primera del movimiento: deducción y expresión

La tensión ${\overrightarrow {T}}\,$ no trabaja sobre la partícula por ser siempre perpendicular a su desplazamiento (trayectoria circular). Así que la única fuerza que trabaja sobre la partícula (su peso) es conservativa, y por tanto se conserva constante en el tiempo su energía mecánica $E\,$ (suma de su energía cinética $K\,$ y su energía potencial $U\,$). Dicho de otro modo, el teorema de conservación de la energía mecánica nos permite deducir que $E\,$ es una integral primera del movimiento de la partícula:

$E=K+U=\mathrm {cte} \,$

Abordemos ahora la tarea de expresar la energía mecánica como una función de $\,\theta \,$ y $\,{\dot {\theta }}$.

La velocidad de la partícula expresada en la base polar viene dada en general por:  

${\vec {v}}={\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }$

pero al particularizar para la trayectoria circular:    $\,\,\rho =L\,\,\mathrm {(cte)} \,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\dot {\rho }}=0\,$,   queda:   ${\vec {v}}=L\,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }$

Así que la energía cinética de la partícula vale:

$K={\frac {1}{2}}\,m\,v^{\,2}={\frac {1}{2}}mL^{2}{\dot {\theta }}^{\,2}$

Por otra parte, la energía potencial de la partícula es su energía potencial gravitatoria $U_{g}\,$:

$U=U_{g}=mg(-x)\,=-mgL\,\mathrm {cos} (\theta )$

Obsérvese que la expresión propuesta para $U_{g}\,$ corresponde a tomar el origen de energía potencial en $\,x=0\,\,$, siendo $(-x)\,$ la altura de la partícula respecto a dicho origen (nótese que el eje OX apunta hacia abajo).

La suma de energía cinética y energía potencial nos da como resultado la energía mecánica de la partícula:

$E(\theta ,{\dot {\theta }})=K+U={\frac {1}{2}}\,mL^{2}{\dot {\theta }}^{\,2}\!-mgL\,\mathrm {cos} (\theta )=\mathrm {cte}$

Desde un punto de vista matemático, la integral primera que acabamos de obtener nos proporciona una ecuación diferencial de primer orden que debe ser satisfecha por la función $\,\theta (t)$:

$L{\dot {\theta }}^{\,2}\!-2g\,\mathrm {cos} (\theta )=\mathrm {cte}$

Puede comprobarse que, derivando respecto al tiempo esta ecuación diferencial de primer orden (y simplificando), se llega a la ecuación diferencial de segundo orden que se obtuvo a partir de la segunda ley de Newton en el apartado anterior.