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No Boletín - Péndulo simple (Ex.Ene/18)

De Laplace

1 Enunciado

Considérese un péndulo simple, constituido por una partícula P\, (de masa m\,) que se halla suspendida de un punto fijo O\, mediante un hilo inextensible (de longitud L\, y masa despreciable). Bajo la acción de su propio peso, la partícula P\, oscila en el plano vertical fijo OXY\, (aceleración gravitatoria: \vec{g}=g\,\vec{\imath}\,). Se propone la coordenada acimutal \theta\, (definida en la figura) para describir la posición de la partícula P\,, así como la base polar \{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\, para expresar las magnitudes vectoriales.

  1. De la segunda ley de Newton aplicada a la partícula P\, y proyectada sobre la dirección acimutal, deduzca la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función \theta(t)\,.
  2. Y de la misma ley, pero proyectada sobre la dirección radial, deduzca el módulo de la tensión del hilo.
  3. Deduzca una integral primera del movimiento de la partícula P\, aplicando algún teorema de conservación.

2 Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y tensión del hilo

Sobre la partícula \,P\, actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (su peso \,m\vec{g}\,) y otra de reacción vincular (la tensión \,\overrightarrow{T}\, ejercida por el hilo). La tensión \,\overrightarrow{T}\, tiene la dirección del propio hilo (dirección radial) y su sentido es atractivo hacia el extremo fijo O\, (vínculo unilateral). Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:


\left\{\begin{array}{l} m\vec{g}=mg\,\vec{\imath}=mg\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{u}_{\rho}-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{u}_{\theta}\,] \\ \\ \overrightarrow{T}=-T\,\vec{u}_{\rho} \end{array}\right.

La aceleración de la partícula expresada en la base polar viene dada en general por:     
\,\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta}
pero al particularizar para la trayectoria circular:      \,\,\rho=L\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\rho}=0\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\rho}=0\,,     queda:     
\vec{a}=-\,L\,\dot{\theta}^{\, 2}\,\vec{u}_{\rho}+L\,\ddot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}

Planteamos la segunda ley de Newton:     m\vec{g}+\overrightarrow{T}=m\,\vec{a}     y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:


\left\{\begin{array}{l} mg\,\mathrm{cos}(\theta)-T=-\,m\,L\,\dot{\theta}^{\, 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\ 
-mg\,\mathrm{sen}(\theta)=m\,L\,\ddot{\theta}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)
\end{array}\right.

La ecuación (2) nos permite obtener la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función \,\theta(t):


\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,L\,\ddot{\theta}+g\,\mathrm{sen}(\theta)=0

El módulo T\, de la tensión que ejerce el hilo sobre la partícula se obtiene despejando en la ecuación (1):


\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,T=m\,[L\,\dot{\theta}^{\, 2}+g\,\mathrm{cos}(\theta)]

3 Integral primera del movimiento: deducción y expresión

La tensión \overrightarrow{T}\, no trabaja sobre la partícula por ser siempre perpendicular a su desplazamiento (trayectoria circular). Así que la única fuerza que trabaja sobre la partícula (su peso) es conservativa, y por tanto se conserva constante en el tiempo su energía mecánica E\, (suma de su energía cinética K\, y su energía potencial U\,). Dicho de otro modo, el teorema de conservación de la energía mecánica nos permite deducir que E\, es una integral primera del movimiento de la partícula:

E=K+U=\mathrm{cte}\,

Abordemos ahora la tarea de expresar la energía mecánica como una función de \,\theta\, y \,\dot{\theta}.

La velocidad de la partícula expresada en la base polar viene dada en general por:    


\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}

pero al particularizar para la trayectoria circular:      \,\,\rho=L\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\rho}=0\,,     queda:     
\vec{v}=L\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}

Así que la energía cinética de la partícula vale:


K=\frac{1}{2}\,m\,v^{\, 2}=\frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^{\, 2}

Por otra parte, la energía potencial de la partícula es su energía potencial gravitatoria U_g\,:


U=U_g=mg(-x)\,=-mgL\,\mathrm{cos}(\theta)

Obsérvese que la expresión propuesta para U_g\, corresponde a tomar el origen de energía potencial en \,x=0\,\,, siendo (-x)\, la altura de la partícula respecto a dicho origen (nótese que el eje OX apunta hacia abajo).

La suma de energía cinética y energía potencial nos da como resultado la energía mecánica de la partícula:


E(\theta,\dot{\theta})=K+U=\frac{1}{2}\,mL^2\dot{\theta}^{\, 2}\!-mgL\,\mathrm{cos}(\theta)=\mathrm{cte}

Desde un punto de vista matemático, la integral primera que acabamos de obtener nos proporciona una ecuación diferencial de primer orden que debe ser satisfecha por la función \,\theta(t):


L\dot{\theta}^{\, 2}\!-2g\,\mathrm{cos}(\theta)=\mathrm{cte}

Puede comprobarse que, derivando respecto al tiempo esta ecuación diferencial de primer orden (y simplificando), se llega a la ecuación diferencial de segundo orden que se obtuvo a partir de la segunda ley de Newton en el apartado anterior.

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