Equilibrio de partícula en hélice

Enunciado

Una partícula de masa $m$ se encuentra sometida simultáneamente a su peso y a la fuerza atractiva de un resorte elástico de constante $k$ y longitud natural nula anclado en el origen de coordenadas. La partícula está ensartada sin rozamiento en la hélice de ecuaciones $x=A\,\mathrm {cos} (\theta ),$ $y=A\,\mathrm {sen} (\theta ),$ $z=b\,\theta /(2\pi )$.

1. Determine la posición de equilibrio de la partícula sobre la hélice.
2. Calcule la fuerza de reacción vincular que ejerce la hélice sobre la partícula en la posición de equilibrio.
3. Determine la energía potencial como función del parámetro $\theta \,$ y discuta la estabilidad de la posición de equilibrio.

Equilibrio

La partícula se encuentra sometida a tres fuerzas: el peso, la fuerza elástica del muelle y la fuerza de reacción vincular, las cuales se pueden expresar en la base cartesiana ortonormal como:

${\begin{array}{rcl}m{\vec {g}}&=&-mg\,{\vec {k}}\\-k{\vec {r}}&=&-kA\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}-kA\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}-k\displaystyle {\frac {b\,\theta }{2\pi }}\,{\vec {k}}\\{\vec {\Phi }}&=&\Phi _{x}\,{\vec {\imath }}+\Phi _{y}\,{\vec {\jmath }}+\Phi _{z}\,{\vec {k}}\end{array}}$

Obsérvese que, al evaluar la fuerza elástica ejercida por el resorte, se ha tenido en cuenta la ecuación del vínculo (hélice), ya que ésta define las únicas posiciones posibles de la partícula:

${\vec {r}}=x\,{\vec {\imath }}+y\,{\vec {\jmath }}+z\,{\vec {k}}=A\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}+A\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}+{\frac {b\,\theta }{2\pi }}\,{\vec {k}}$

En el equilibrio, la resultante de las tres fuerzas debe ser nula

$m{\vec {g}}-k{\vec {r}}+{\vec {\Phi }}={\vec {0}}$

Separando por componentes, esta ecuación vectorial da lugar a tres ecuaciones escalares:

${\begin{array}{rcl}-kA\,\mathrm {cos} (\theta )+\Phi _{x}&=&0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\-kA\,\mathrm {sen} (\theta )+\Phi _{y}&=&0\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\-mg-kb\,\theta /(2\pi )+\Phi _{z}&=&0\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\end{array}}$

Por otra parte, la fuerza de reacción vincular tiene necesariamente dirección perpendicular a la hélice (pues no se menciona que exista rozamiento, es decir, se sobreentiende que la hélice es un vínculo liso). Un vector tangente a la hélice es

${\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}=-A\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}+A\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}+{\frac {b}{2\pi }}\,{\vec {k}}$

Por tanto, podemos garantizar que ${\vec {\Phi }}$ será ortogonal a la hélice exigiendo la nulidad del siguiente producto escalar

${\vec {\Phi }}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}=0\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,-\Phi _{x}A\,\mathrm {sen} (\theta )+\Phi _{y}A\,\mathrm {cos} (\theta )+\Phi _{z}{\frac {b}{2\pi }}=0\,\,\,\,\,\,\,\,(4)$

Hemos obtenido en definitiva un sistema de cuatro ecuaciones (1-4) con cuatro incógnitas, que son los valores de $\theta \,$, $\Phi _{x}\,$, $\Phi _{y}\,$ y $\Phi _{z}\,$ correspondientes a la posición de equilibrio. Para resolver dicho sistema, despejamos $\Phi _{x}$, $\Phi _{y}$ y $\Phi _{z}$ de las ecuaciones (1), (2) y (3), respectivamente

$(1)\longrightarrow \,\,\,\Phi _{x}=kA\,\mathrm {cos} (\theta )\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\longrightarrow \,\,\,\Phi _{y}=kA\,\mathrm {sen} (\theta )\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\longrightarrow \,\,\,\Phi _{z}=mg+k{\frac {b\,\theta }{2\pi }}$

y sustituyendo estas expresiones en la ecuación (4), se obtiene el valor de $\theta \,$ correspondiente a la única posición de equilibrio existente:

$(4)\longrightarrow \,\,\,{\frac {b}{2\pi }}\left(mg+k\displaystyle {\frac {b\,\theta }{2\pi }}\right)=0\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\theta =-2\pi {\frac {mg}{kb}}\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow$

$\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,{\vec {r}}_{\mathrm {eq} }=A\,\mathrm {cos} \left(2\pi {\frac {mg}{kb}}\right){\vec {\imath }}\,-A\,\mathrm {sen} \left(2\pi {\frac {mg}{kb}}\right){\vec {\jmath }}\,-{\frac {mg}{k}}\,{\vec {k}}$

Fuerza de reacción vincular

Para determinar la fuerza de reacción vincular que soporta la partícula en la posición de equilibrio, basta sustituir en las expresiones de $\Phi _{x}\,$, $\Phi _{y}\,$ y $\Phi _{z}\,$ que obtuvimos anteriormente el valor de $\theta \,$ ecorrespondiente al equilibrio:

${\vec {\Phi }}_{\mathrm {eq} }=kA\,\mathrm {cos} \left(2\pi {\frac {mg}{kb}}\right){\vec {\imath }}-kA\,\mathrm {sen} \left(2\pi {\frac {mg}{kb}}\right){\vec {\jmath }}$

Energía potencial y estabilidad del equilibrio

Las fuerzas que trabajan sobre la partícula cuando ésta se mueve son el peso y la elástica, ambas conservativas (la fuerza de reacción vincular no trabaja por ser en todo instante perpendicular a la trayectoria). En consecuencia, se puede definir una función energía potencial de la partícula que vendrá dada por la suma de las energías potenciales gravitatoria y elástica:

$U=mgz+{\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

Particularizando la función energía potencial para los puntos de la hélice (únicas posiciones permitidas para la partícula), logramos reescribirla como función que depende únicamente del parametro $\theta \,$ descriptivo de la hélice:

$U(\theta )={\frac {mgb}{2\pi }}\theta +{\frac {kA^{2}}{2}}+{\frac {kb^{2}}{8\pi ^{2}}}\theta ^{2}$

Derivando una y dos veces respecto a $\theta \,$, se obtiene

${\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {mgb}{2\pi }}+{\frac {kb^{2}}{4\pi ^{2}}}\theta \,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}={\frac {kb^{2}}{4\pi ^{2}}}>0$

Es inmediato comprobar que, igualando a 0 la derivada primera, se obtiene el valor de $\theta \,$ correspondiente al equilibrio

${\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} \theta }}=0\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,{\frac {mgb}{2\pi }}+{\frac {kb^{2}}{4\pi ^{2}}}\theta =0\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\theta =-2\pi {\frac {mg}{kb}}$

Esto es así porque la posición de equilibrio corresponde a un extremo de la función energía potencial. Además, como hemos visto que la derivada segunda es siempre positiva, no cabe duda de que en este caso el punto de equilibrio corresponde a un mínimo de energía potencial. En consecuencia, podemos asegurar que la posición de equilibrio es estable.

Es interesante comprender desde un punto de vista teórico por qué la posición de equilibrio conlleva la nulidad de la primera derivada de la energía potencial respecto al parámetro $\theta \,$. Sabemos que en el equilibrio la resultante de las tres fuerzas es nula. Por tanto, si multiplicamos escalarmente la suma de fuerzas por el vector tangente a la trayectoria $\mathrm {d} {\vec {r}}/\mathrm {d} \theta$, el resultado debe ser cero en el equilibrio. Ahora bien, se recordará que la fuerza de reacción vincular es perpendicular a dicho vector, de tal modo que, suprimiendo el término correspondiente, nos queda que el trabajo de las fuerzas conservativas por unidad de ángulo es nulo en el equilibrio. Y, finalmente, como sabemos que el trabajo conservativo es igual a la variación de energía potencial cambiada de signo, se concluye que la primera derivada de $U\,$ respecto a $\theta \,$ ha de ser nula en la posición de equilibrio:

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,m{\vec {g}}-k{\vec {r}}+{\vec {\Phi }}={\vec {0}}\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,(m{\vec {g}}-k{\vec {r}}+{\vec {\Phi }})\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}=0\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,(m{\vec {g}}-k{\vec {r}})\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}=0\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,{\frac {\delta W^{c}}{\mathrm {d} \theta }}=0\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,-{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} \theta }}=0$