No Boletín - Partícula en varilla ranurada móvil (Ex.Ene/20)

Enunciado

La varilla Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OA\,} , ranurada longitudinalmente y contenida en el plano horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY\,} , rota alrededor del eje fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ\,} de tal modo que el ángulo que forma la misma con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX\,} viene dado en función del tiempo por la expresión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\theta=\Omega\, t\,} (donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\Omega\,} es una constante conocida). Una partícula $P\,$ de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\,} se encuentra confinada en la ranura de la citada varilla, pudiendo deslizar sin rozamiento a lo largo de ella, y estando sometida a la acción de un resorte elástico (de constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k\,} y longitud natural nula) con anclaje en el punto fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B(b,0,0)\,} . En la figura se definen las coordenadas polares Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\rho,\theta\}\,} de la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} , así como la base ortonormal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,} asociada a las mismas. En lo que sigue, denominaremos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\,} , respectivamente, a la velocidad y a la aceleración de la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} respecto al triedro fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXYZ\,} .

Nota: Obsérvese que la varilla Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OA\,} constituye un vínculo liso y reónomo sobre la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} .

1. ¿Cuál de las siguientes condiciones ha de ser verificada en todo instante por la fuerza vincular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}\,} que ejerce la varilla Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OA\,} sobre la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,}  ? Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{(1)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,\vec{\Phi}\times\vec{a}=\vec{0}}
2. Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{u}_{\rho}\,} , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho(t)\,} que da la coordenada radial de la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} en cada instante.
3. ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula? Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{(1)}\,\,\,\mathrm{ninguna}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{las}\,\,\mathrm{otras}\,\,\mathrm{tres}\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2}

Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza vincular

El movimiento tiene lugar en un plano horizontal y, en consecuencia, no hay que considerar efecto gravitatorio. Sobre la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,P\,} actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (la fuerza elástica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{F}_k\,} ejercida por el resorte) y otra de tipo vincular (la fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{\Phi}\,} ejercida por la varilla ranurada).

Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), la ranura de la varilla no tiene la capacidad de ejercer fuerzas tangenciales a su propia dirección. Por tanto, la fuerza vincular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}\,} es perpendicular a la dirección radial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{u}_{\rho}\,} de la ranura en la que se encuentra confinada la partícula, debiendo satisfacer en todo instante la condición:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{vinculo}\,\,\mathrm{liso}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\mathrm{vinculo}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\vec{u}_{\rho} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\,\cdot\,\vec{u}_{\rho}= 0 }

Así que la opción (3) es la respuesta correcta a la primera pregunta del ejercicio.

Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \vec{F}_k=-\,k\,\overrightarrow{BP}=-\,k\,\{[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)]\,\vec{u}_{\rho}\,+\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\vec{u}_{\theta}\} \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\theta} \end{array}\right. }

La velocidad y la aceleración de la partícula expresadas en la base polar vienen dadas en general por:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta} }

pero al particularizar, teniendo en cuenta la ecuación del vínculo:    Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\theta=\Omega\, t\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\Omega\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\theta}=0\,} ,   queda:  

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\Omega\,\rho\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{a}=(\ddot{\rho}-\Omega^2\rho)\,\vec{u}_{\rho}+2\,\Omega\,\dot{\rho}\,\vec{u}_{\theta} }

Planteamos la segunda ley de Newton:   Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}}    y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{l} -\,k\,[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)\,]=m(\,\ddot{\rho}-\Omega^2\rho\,)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\ -\,k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)+\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2) \end{array}\right. }

La ecuación (1) nos proporciona la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\rho(t)} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,m\,\ddot{\rho}+(k-m\,\Omega^2)\rho=k\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t) }

que constituye la respuesta a la segunda pregunta del ejercicio.

La fuerza vincular que ejerce la varilla ranurada sobre la partícula se obtiene despejando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\Phi\,\,} en la ecuación (2) y sustituyendo en la expresión vectorial de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{\Phi}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t) \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=\left[\,2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\right] \,\vec{u}_{\theta} }

Volviendo a la primera pregunta del ejercicio, cabe señalar que, una vez determinadas las expresiones de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{\Phi}\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{v}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{a}\,} en la base polar, resulta trivial comprobar analíticamente que las respuestas (1), (2) y (4) son falsas:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=\Phi\neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi \neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{\Phi}\times\vec{a}=\Phi\, (\Omega^2\rho-\ddot{\rho})\,\vec{k}\neq\vec{0} }

Además, dado que las igualdades expresadas en las respuestas (1), (2) y (4) corresponden geométricamente a ciertas condiciones de ortogonalidad o paralelismo entre vectores, también es posible su descarte inspeccionando la figura que acompaña a la presente solución. En efecto, en dicha figura se observa que la fuerza vincular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}\,} no es perpendicular a la dirección acimutal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{u}_{\theta}\,} , ni perpendicular a la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}\,} , ni paralela a la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\,} . Nótese que, en coherencia con la segunda ley de Newton, la aceleración se ha representado en la citada figura con la misma dirección y sentido que la resultante de las fuerzas actuantes sobre la partícula.

¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta?

Para responder la última pregunta del ejercicio, lo primero que hacemos es identificar las magnitudes físicas propuestas. Se trata de la energía cinética Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K\,} en la opción (4), la energía mecánica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E\,} en la opción (2), y el momento cinético Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_B\,} en la opción (3):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K=m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, E=K+\, U=(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP})/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{L}_B=\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v} }

Los teoremas de la energía cinética (T.E.C.), de la energía mecánica (T.E.M.) y del momento cinético (T.M.C.) establecen que las derivadas temporales de estas magnitudes son iguales, respectivamente, a la potencia instantánea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} desarrollada sobre la partícula, a la potencia instantánea no conservativa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_{\mathrm{NC}}\,} desarrollada sobre la misma, y al momento resultante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{M}_B\,} de las fuerzas actuantes:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.C.)}\,\,; \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=P_{\mathrm{NC}}\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.M.)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \frac{\mathrm{d}\vec{L}_B}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{M}_B\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.M.C.)} }

A partir de estos tres teoremas, se deducen los correspondientes teoremas de conservación:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{llrll} \mathrm{T.C.E.C.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & K(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & P(t)=0\,\,\,\,(\,\forall t\,) \\ \\ \mathrm{T.C.E.M.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & E(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & P_{\mathrm{NC}}(t)=0\,\,\,\,(\,\forall t\,) \\ \\ \mathrm{T.C.M.C.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{L}_B(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & \overrightarrow{M}_B(t)=\vec{0}\,\,\,\,(\,\forall t\,) \end{array} }

Sin embargo, vamos a comprobar que ninguna de las tres magnitudes propuestas se conserva constante en el presente ejercicio.

En primer lugar, la energía cinética de la partícula no es constante en el tiempo porque tanto la fuerza elástica (conservativa) como la fuerza vincular (no conservativa) desarrollan potencia sobre la partícula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(t)=\underbrace{\,\vec{F}_k\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{C}}(t)}\,\,+\,\underbrace{\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{NC}}(t)}\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,K(t)\neq\mathrm{cte} }

Que la fuerza elástica trabaja (desarrolla potencia) es evidente porque la elongación del resorte va variando a lo largo del movimiento de la partícula. El hecho de que la fuerza vincular también trabaje se debe al carácter móvil (reónomo) del vínculo, que es la causa de que la velocidad de la partícula tenga una componente de arrastre en la dirección de la propia fuerza vincular (cosa que no ocurre en los vínculos fijos o esclerónomos). Es frecuente el error de creer que todos los vínculos lisos no trabajan. La realidad es que los lisos esclerónomos no trabajan, pero los lisos reónomos sí trabajan.

En segundo lugar, la energía mecánica de la partícula tampoco se conserva constante, ya que, tal como hemos comentado, la fuerza vincular desarrolla potencia no conservativa sobre la partícula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_{\mathrm{NC}}(t)=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,E(t)\neq\mathrm{cte} }

Por último, el momento cinético de la partícula respecto al punto B tampoco se conserva constante en el tiempo. Aunque la fuerza elástica es central con centro en B, la fuerza vincular no lo es, y esto provoca que el momento resultante de fuerzas respecto al punto B sea distinto de cero:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{M}_B(t)=\underbrace{\,\overrightarrow{BP}\times\vec{F}_k\,}_{\displaystyle =\,\vec{0}}\,+\,\,\overrightarrow{BP}\times\vec{\Phi}\neq \vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{L}_B(t)\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}} }

Así, pues, llegamos a la conclusión anunciada de que ninguna de las tres magnitudes propuestas en la tercera pregunta del ejercicio se conserva constante durante el movimiento de la partícula, y en consecuencia la respuesta correcta a dicha pregunta es la opción (1): "ninguna de las otras tres".