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No Boletín - Cuestión sobre curva de potencial II (Ex.Ene/13)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa 1\,\mathrm{kg}\, se mueve a lo largo del eje OX\, bajo la acción de una fuerza conservativa cuya energía potencial U\, es la representada en la gráfica. Sabemos que en el instante t=t_0\, la partícula se halla en la posición x_0=-8\,\mathrm{m}\, y tiene una celeridad v_0 = 2\,\mathrm{m/s}\, en el sentido positivo del eje OX\,.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el movimiento de la partícula para t>t_0\, es falsa? (NOTA: sólo una de las cuatro afirmaciones es falsa).

(a) Alcanzará un equilibrio inestable en la posición x= -4\,\mathrm{m}\,

(b) Nunca pasará por la posición x = 1\,\mathrm{m}\,

(c) En algún momento entrará en la región x<-8\,\mathrm{m}\,

(d) Estará en reposo instantáneo en la posición x = -7\,\mathrm{m}\,

2 Energía mecánica

Es un movimiento rectilíneo conservativo. La energía mecánica E\, (suma de la energía cinética y la energía potencial) es constante en el tiempo. La calculamos evaluándola en el instante inicial:


E=\frac{1}{2}mv_0^2+U(x_0)=2\,\mathrm{J}+1\,\mathrm{J}=3\,\mathrm{J}

donde m\, es la masa de la partícula, x_0\, es su posición inicial, y v_{\, 0}\, es su celeridad inicial (valores dados en el enunciado).

Nota: la evaluación de U(x_0)\, se realiza mediante la simple inspección de la gráfica facilitada.

3 Puntos de retorno y región prohibida

Los puntos de retorno corresponden a los valores de x\, para los cuales se produce intersección entre la curva de energía potencial U(x)\, y la recta horizontal representativa de la energía mecánica constante E=3\,\mathrm{J}\,. Observamos en la gráfica que existen dos puntos de retorno:


x_1=-7\,\mathrm{m}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x_2=0\,\mathrm{m}

Se denominan "de retorno" porque, si la partícula llega a uno de estos puntos, sufrirá allí la anulación instantánea de su celeridad y la inversión del sentido de su movimiento. Esta inversión del sentido de movimiento se debe a que cada punto de retorno es la frontera entre una región permitida y una región prohibida.

En efecto, la energía cinética de una partícula es, por definición, mayor o igual que cero (no negativa) y, por tanto, la partícula tiene prohibido su acceso a aquella región del eje OX\, para la cual la curva de energía potencial U(x)\, está por encima de la recta horizontal de energía mecánica E=3\,\mathrm{J}\,. En el caso que nos ocupa:


x_1<x<x_2\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\frac{1}{2}m\dot{x}^{\, 2}=K=E-U(x)<0\,\,\,\,\mathrm{(imposible)}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{region}\,\,\mathrm{prohibida}

4 ¿Cuál es la afirmación FALSA?

Dado que la partícula se halla inicialmente en x_0=-8\,\mathrm{m} y moviéndose hacia la derecha (\dot{x}>0\,), es obvio que la partícula alcanzará el punto de retorno x_1=-7\,\mathrm{m}\,. En dicho punto estará en reposo instantáneo y, a continuación, empezará a moverse hacia la izquierda (\dot{x}<0\,) de forma permanente (porque, a la izquierda de x_1\,, no hay puntos de retorno).

Por tanto, es CORRECTA la afirmación (d): "Estará en reposo instantáneo en la posición x = -7\,\mathrm{m}\,", ya que dicha posición va a ser efectivamente alcanzada por la partícula y es un punto de retorno:


\mathrm{para}\,\,\,x=x_1=-7\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\frac{1}{2}m\dot{x}^{\, 2}=K=E-U(x_1)=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\dot{x}=0\,\,\,\,\mathrm{(reposo}\,\,\mathrm{instantaneo)}

Y también es CORRECTA la afirmación (c): "En algún momento entrará en la región x<-8\,\mathrm{m}\,", ya que, tras invertir su sentido de movimiento en x=x_1\,, la partícula se moverá indefinidamente hacia la izquierda (sin retorno), cumpliéndose que:


\lim_{t\rightarrow\infty}x(t)=-\infty

En la gráfica observamos que existen dos regiones permitidas para el movimiento de la partícula: la región izquierda (x\le x_1\,) y la región derecha (x\ge x_2\,), pero estas dos regiones están inconexas entre sí debido a que entre ambas se interpone la región prohibida (x_1< x< x_2\,). Podemos expresarlo diciendo que existe una barrera de potencial que impide el paso de una región a otra. Por tanto, el movimiento de la partícula transcurrirá de facto sólo en una de las dos regiones permitidas. Pero... ¿en cuál? Pues muy fácil: en aquella región en la que se halle la partícula en el instante inicial. En nuestro caso, al ser x_0=-8\,\mathrm{m}<x_1=-7\,\mathrm{m}\,, la partícula se va a mover siempre en la región izquierda y nunca alcanzará la región derecha. Por tanto, es CORRECTA la afirmación (b): "Nunca pasará por la posición x = 1\,\mathrm{m}\,", ya que esta posición pertenece a la región derecha:


1\,\mathrm{m}>x_2=0\,\mathrm{m}

Por eliminación, llegamos finalmente a la conclusión de que la afirmación falsa que buscábamos es la (a): "Alcanzará un equilibrio inestable en la posición x= -4\,\mathrm{m}\,". En efecto, sin necesidad de entrar a discutir otras características de la posición x= -4\,\mathrm{m}\,, la afirmación (a) es FALSA porque dicha posición queda dentro de la región prohibida:


x_1=-7\,\mathrm{m}<-4\,\mathrm{m}<x_2=0\,\mathrm{m}

y, por tanto, es inalcanzable para la partícula.

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