No Boletín - Cuestión sobre curva de potencial II (Ex.Ene/13)

Enunciado

Una partícula de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1\,\mathrm{kg}\,} se mueve a lo largo del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX\,} bajo la acción de una fuerza conservativa cuya energía potencial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U\,} es la representada en la gráfica. Sabemos que en el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=t_0\,} la partícula se halla en la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_0=-8\,\mathrm{m}\,} y tiene una celeridad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0 = 2\,\mathrm{m/s}\,} en el sentido positivo del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX\,} .

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el movimiento de la partícula para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t>t_0\,} es falsa? (NOTA: sólo una de las cuatro afirmaciones es falsa).

(a) Alcanzará un equilibrio inestable en la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x= -4\,\mathrm{m}\,}

(b) Nunca pasará por la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = 1\,\mathrm{m}\,}

(c) En algún momento entrará en la región Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x<-8\,\mathrm{m}\,}

(d) Estará en reposo instantáneo en la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = -7\,\mathrm{m}\,}

Energía mecánica

Es un movimiento rectilíneo conservativo. La energía mecánica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E\,} (suma de la energía cinética y la energía potencial) es constante en el tiempo. La calculamos evaluándola en el instante inicial:

$E={\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}+U(x_{0})=2\,\mathrm {J} +1\,\mathrm {J} =3\,\mathrm {J}$

donde $m\,$ es la masa de la partícula, $x_{0}\,$ es su posición inicial, y $v_{\,0}\,$ es su celeridad inicial (valores dados en el enunciado).

Nota: la evaluación de $U(x_{0})\,$ se realiza mediante la simple inspección de la gráfica facilitada.

Puntos de retorno y región prohibida

Los puntos de retorno corresponden a los valores de $x\,$ para los cuales se produce intersección entre la curva de energía potencial $U(x)\,$ y la recta horizontal representativa de la energía mecánica constante $E=3\,\mathrm {J} \,$. Observamos en la gráfica que existen dos puntos de retorno:

$x_{1}=-7\,\mathrm {m} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{2}=0\,\mathrm {m}$

Se denominan "de retorno" porque, si la partícula llega a uno de estos puntos, sufrirá allí la anulación instantánea de su celeridad y la inversión del sentido de su movimiento. Esta inversión del sentido de movimiento se debe a que cada punto de retorno es la frontera entre una región permitida y una región prohibida.

En efecto, la energía cinética de una partícula es, por definición, mayor o igual que cero (no negativa) y, por tanto, la partícula tiene prohibido su acceso a aquella región del eje $OX\,$ para la cual la curva de energía potencial $U(x)\,$ está por encima de la recta horizontal de energía mecánica $E=3\,\mathrm {J} \,$. En el caso que nos ocupa:

$x_{1}<x<x_{2}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{\,2}=K=E-U(x)<0\,\,\,\,\mathrm {(imposible)} \,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\mathrm {region} \,\,\mathrm {prohibida}$

¿Cuál es la afirmación FALSA?

Dado que la partícula se halla inicialmente en $x_{0}=-8\,\mathrm {m}$ y moviéndose hacia la derecha (${\dot {x}}>0\,$), es obvio que la partícula alcanzará el punto de retorno $x_{1}=-7\,\mathrm {m} \,$. En dicho punto estará en reposo instantáneo y, a continuación, empezará a moverse hacia la izquierda (${\dot {x}}<0\,$) de forma permanente (porque, a la izquierda de $x_{1}\,$, no hay puntos de retorno).

Por tanto, es CORRECTA la afirmación (d): "Estará en reposo instantáneo en la posición $x=-7\,\mathrm {m} \,$", ya que dicha posición va a ser efectivamente alcanzada por la partícula y es un punto de retorno:

$\mathrm {para} \,\,\,x=x_{1}=-7\,\mathrm {m} \,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{\,2}=K=E-U(x_{1})=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\dot {x}}=0\,\,\,\,\mathrm {(reposo} \,\,\mathrm {instantaneo)}$

Y también es CORRECTA la afirmación (c): "En algún momento entrará en la región Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x<-8\,\mathrm{m}\,} ", ya que, tras invertir su sentido de movimiento en $x=x_{1}\,$, la partícula se moverá indefinidamente hacia la izquierda (sin retorno), cumpliéndose que:

$\lim _{t\rightarrow \infty }x(t)=-\infty$

En la gráfica observamos que existen dos regiones permitidas para el movimiento de la partícula: la región izquierda ($x\leq x_{1}\,$) y la región derecha (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\ge x_2\,} ), pero estas dos regiones están inconexas entre sí debido a que entre ambas se interpone la región prohibida (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1< x< x_2\,} ). Podemos expresarlo diciendo que existe una barrera de potencial que impide el paso de una región a otra. Por tanto, el movimiento de la partícula transcurrirá de facto sólo en una de las dos regiones permitidas. Pero... ¿en cuál? Pues muy fácil: en aquella región en la que se halle la partícula en el instante inicial. En nuestro caso, al ser Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_0=-8\,\mathrm{m}<x_1=-7\,\mathrm{m}\,} , la partícula se va a mover siempre en la región izquierda y nunca alcanzará la región derecha. Por tanto, es CORRECTA la afirmación (b): "Nunca pasará por la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = 1\,\mathrm{m}\,} ", ya que esta posición pertenece a la región derecha:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1\,\mathrm{m}>x_2=0\,\mathrm{m} }

Por eliminación, llegamos finalmente a la conclusión de que la afirmación falsa que buscábamos es la (a): "Alcanzará un equilibrio inestable en la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x= -4\,\mathrm{m}\,} ". En efecto, sin necesidad de entrar a discutir otras características de la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x= -4\,\mathrm{m}\,} , la afirmación (a) es FALSA porque dicha posición queda dentro de la región prohibida:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1=-7\,\mathrm{m}<-4\,\mathrm{m}<x_2=0\,\mathrm{m} }

y, por tanto, es inalcanzable para la partícula.