No Boletín - Partícula que desliza apoyada sobre semiaro (Ex.Ene/16)

Enunciado

Sea un semiaro fijo, de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,R\,} y centro de curvatura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,O\,} , contenido en el plano vertical Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,OY\!Z\,} (ver figura). La partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,P\,} de masa $\,m\,$, inicialmente en reposo apoyada sobre el punto más alto del semiaro, sufre una leve perturbación y comienza a deslizar sobre él sin rozamiento y bajo la acción de su propio peso (aceleración gravitatoria: $\,{\vec {g}}=-g\,{\vec {k}}\,$). El deslizamiento continúa hasta cierta posición en la que se observa que la partícula pierde el contacto con el semiaro. Utilícese la coordenada acimutal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\theta\,} de la figura para describir la posición de la partícula sobre el semiaro, y la base polar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,} para expresar las magnitudes vectoriales.

1. Halle la celeridad de la partícula mientras desliza sobre el semiaro.
2. Determine la fuerza de reacción vincular que el semiaro ejerce sobre la partícula durante su deslizamiento.
3. ¿En qué posición pierde la partícula el contacto con el semiaro?

Celeridad durante el deslizamiento

Las fuerzas que actúan sobre la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,P\,} mientras desliza sobre el semiaro son dos: su propio peso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,m\vec{g}\,} y la fuerza de reacción vincular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{\Phi}\,} que le ejerce el semiaro. El peso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,m\vec{g}\,} es una fuerza conservativa, y la fuerza vincular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}\,} no realiza trabajo sobre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,P\,} porque es siempre perpendicular a su desplazamiento (la fuerza vincular no trabaja en un vínculo liso y esclerónomo). En consecuencia, la energía mecánica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,E\,} de la partícula (suma de su energía cinética Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K\,} y su energía potencial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U\,} ) se conservará constante en el tiempo (teorema de conservación de la energía mecánica):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E=K+\,U=\frac{1}{2}\,mv^{\, 2}+\,mg\underbrace{R\,\mathrm{sen}(\theta)}_{\displaystyle z}=\mathrm{cte}\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(definiendo}\,\,U\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{modo}\,\,\mathrm{que}\,\,\mathrm{tenga}\,\,\mathrm{su}\,\,\mathrm{origen}\,\,\mathrm{en}\,\,z=0\,\mathrm{)} }

El valor constante de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,E\,} se determina evaluando su expresión para las condiciones iniciales dadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,v(0)=0\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\theta(0)=\pi/2\,} (la partícula en reposo sobre el punto más alto del semiaro):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E=mgR \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}\,mv^{\, 2}+\,mgR\,\mathrm{sen}(\theta)=mgR\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}\,v^{\, 2}+\,gR\,\mathrm{sen}(\theta)=gR }

de donde se deduce que la celeridad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,v\,} de la partícula durante el deslizamiento vale:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v=\sqrt{2\,gR\,[1-\mathrm{sen}(\theta)\,]} }

Fuerza de reacción vincular durante el deslizamiento

Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), la fuerza vincular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}\,} es perpendicular al propio vínculo y, por tanto, tiene dirección radial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{u}_{\rho}\,} . Expresadas en la base polar, las dos fuerzas actuantes sobre la partícula durante su deslizamiento sobre el semiaro son:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{l} m\vec{g}=-mg\,\vec{k}=-mg\,[\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{u}_{\rho}+\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{u}_{\theta}\,] \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\rho} \end{array}\right. }

La aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{a}\,} de la partícula durante su deslizamiento la expresamos primero en la base de Frenet (componentes intrínsecas de la aceleración: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t=\dot{v}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,a_n=v^2/R_{\kappa}\,} ), y después la pasamos a la base polar (teniendo presente que en este caso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{T}=-\vec{u}_{\theta}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{N}=-\vec{u}_{\rho}\,} ):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{a}=\dot{v}\,\vec{T}+\frac{v^2}{R}\,\vec{N}=-\,\frac{v^2}{R}\,\vec{u}_{\rho}-\dot{v}\,\vec{u}_{\theta} }

Proyectando la segunda ley de Newton   Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{g}+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}}    sobre la dirección radial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{u}_{\rho}\,} , se obtiene la siguiente ecuación escalar:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -mg\,\mathrm{sen}(\theta)+\Phi=-\,m\,\frac{v^2}{R} }

La fuerza de reacción vincular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\rho}\,} , que ejerce el semiaro sobre la partícula durante su deslizamiento, queda determinada por el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\Phi\,} que se obtiene despejando en la anterior ecuación:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Phi=m\!\left[g\,\mbox{sen}(\theta)-\displaystyle\frac{v^2}{R}\right] }

y sustituyendo la expresión de la celeridad   Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,v=\sqrt{2\,gR\,[1-\mathrm{sen}(\theta)\,]}\,}    del apartado anterior:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Phi=mg \left[\,3\,\mathrm{sen}(\theta)-2\,\right] }

Posición de pérdida del contacto partícula-semiaro

Mientras desliza, la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,P\,} se halla en contacto con el semiaro, pero sólo está apoyada sobre él. El semiaro impedirá que la partícula lo atraviese de fuera a dentro, pero no podrá evitar que en cierto instante la partícula pierda el contacto con él y lo abandone (se trata de un vínculo unilateral). Esto se traduce matemáticamente en que la fuerza vincular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\rho}\,} sólo puede estar dirigida hacia fuera del semiaro, nunca hacia dentro. Dicho de otro modo, la componente radial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\Phi\,} de la citada fuerza debe ser siempre mayor o igual que cero, condición que restringe el intervalo de valores posibles de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\theta} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Phi=mg\left[\,3\,\mathrm{sen}(\theta)-2\,\right]\geq 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{sen}(\theta)\geq\frac{2}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,90^{\, o}\geq \theta\geq 41,8^{\, o} }

Por tanto, la partícula pierde el contacto con el semiaro cuando alcanza la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\theta=\theta^{\, *}\!=41,8^{\, o}\,} , en la que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\Phi\,} se anula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=\theta^{\, *}\!=41,8^{\, o}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{sen}(\theta^{\, *})=\frac{2}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Phi=mg\left[\,3\,\mathrm{sen}(\theta^{\, *})-2\,\right]= 0 }