No Boletín - Partícula que cuelga de un hilo (Ex.Sep/14)

Enunciado

La barra rígida $AB\,$ -de longitud $L\,$ y masa despreciable- se mueve en el plano vertical $OXY\,$, hallándose articulada en su extremo $A\,$ a un punto del eje vertical cuya posición es ${\overrightarrow {OA}}=L{\vec {\jmath }}\,$. Un hilo inextensible de longitud $2L\,$ tiene uno de sus extremos fijo en el origen del sistema de coordenadas (punto $O\,$), mientras que del otro extremo cuelga una partícula $P\,$ de masa $m\,$. El hilo se mantiene siempre tenso, se apoya sobre una pequeña polea de radio despreciable situada en el extremo $B\,$ de la barra, y en su tramo ${\overline {BP}}\,$ permanece en todo instante paralelo al eje $OY\,$ (ver figura). Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se define el ángulo $\theta \,$ que forman el tramo ${\overline {OB}}\,$ del hilo y el eje vertical $OY\,$ (considérese $0\leq \theta <\pi /2\,$).

1. Halle razonadamente el vector de posición de la partícula ${\overrightarrow {OP}}\,$ en función del parámetro $\theta \,$, así como la velocidad instantánea de la misma en función de $\theta \,$ y ${\dot {\theta }}\,$.
2. Suponga que se verifica la ley horaria $\theta (t)=\Omega t\,$ (donde $\Omega \,$ es una constante positiva conocida). Sabiendo que en tal caso la velocidad instantánea de la partícula $P\,$ viene dada por: ${\vec {v}}(t)=C\left\{\mathrm {cos} (2\Omega t)\,{\vec {\imath }}-[\mathrm {sen} (2\Omega t)+\,\mathrm {sen} (\Omega t)]\,{\vec {\jmath }}\,\right\}$ donde $C\,$ es otra constante positiva conocida, determine las componentes intrínsecas (tangencial y normal) de la aceleración de la partícula en el instante $t=\pi /(4\Omega )\,$, así como el trabajo neto realizado sobre la partícula en el intervalo de tiempo transcurrido entre $t=0\,$ y $t=\pi /(3\Omega )\,$.
3. Suponga que la partícula $P\,$ realiza el movimiento descrito en el apartado anterior bajo la acción de tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que le ejerce el hilo y una fuerza aplicada con la mano (esta última es necesaria para garantizar que el hilo permanezca siempre tenso y con su tramo ${\overline {BP}}\,$ vertical). Calcule la componente horizontal de la fuerza aplicada con la mano en función del tiempo.

Posición y velocidad instantánea

El vector de posición de la partícula ${\overrightarrow {OP}}\,$ es igual a la siguiente suma vectorial:

${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {BP}}$

El vector ${\overrightarrow {OB}}\,$ forma un ángulo $\theta \,$ con el eje vertical $OY\,$, mientras que el vector ${\overrightarrow {BP}}\,$ es paralelo al eje $OY\,$ y de sentido hacia abajo. Por tanto, expresados en función de sus respectivos módulos, quedan:

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OB}}=|{\overrightarrow {OB}}\,|\,[\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}+\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}\,\,]\\\\{\overrightarrow {BP}}=-|{\overrightarrow {BP}}\,|\,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

Pero los módulos $|{\overrightarrow {OB}}\,|\,$ y $|{\overrightarrow {BP}}\,|\,$ son fácilmente calculables en función de $\theta \,$. En primer lugar, $|{\overrightarrow {OB}}\,|\,$ es la longitud del lado desigual de un triángulo isósceles (triángulo $OBA\,$) cuyos lados iguales miden $L\,$ y cuyos ángulos iguales miden $\theta \,$; y en segundo lugar, $|{\overrightarrow {BP}}\,|\,$ es el resultado de restarle $|{\overrightarrow {OB}}|\,$ a $2L\,$ (longitud total del hilo):

${\begin{array}{lll}|{\overrightarrow {OB}}\,|=2L\,\mathrm {cos} (\theta )&\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,&{\overrightarrow {OB}}=2L\,\mathrm {cos} (\theta )\,[\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}\,+\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}\,\,]\\\\|{\overrightarrow {BP}}\,|=2L-|{\overrightarrow {OB}}\,|=2L\,[1-\mathrm {cos} (\theta )]&\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,&{\overrightarrow {BP}}=-2L\,[1-\mathrm {cos} (\theta )]\,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

Por tanto, el vector de posición de la partícula se puede expresar como:

${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {BP}}=2L\,\mathrm {cos} (\theta )\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}\,+\,2L\,[\,\mathrm {cos} ^{2}(\theta )\,+\,\mathrm {cos} (\theta )-\,1\,]\,{\vec {\jmath }}$

Pero utilizando las fórmulas trigonométricas:

$2\,\mathrm {sen} (\theta )\,\mathrm {cos} (\theta )=\mathrm {sen} (2\theta )\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {cos} ^{2}(\theta )={\frac {1+\mathrm {cos} (2\theta )}{2}}$

se llega a esta otra expresión alternativa del vector ${\overrightarrow {OP}}\,$:

${\overrightarrow {OP}}=L\,\mathrm {sen} (2\theta )\,{\vec {\imath }}+L\,[\,\mathrm {cos} (2\theta )+2\,\mathrm {cos} (\theta )-1\,]\,{\vec {\jmath }}$

Y derivando dicho vector de posición respecto al tiempo (mediante la regla de la cadena), se obtiene la velocidad instantánea de la partícula:

${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} \,{\overrightarrow {OP}}}{\mathrm {d} \,t}}={\dot {\theta }}\,{\frac {\mathrm {d} \,{\overrightarrow {OP}}}{\mathrm {d} \,\theta }}=2L\,{\dot {\theta }}\,\mathrm {cos} (2\theta )\,{\vec {\imath }}-2L\,{\dot {\theta }}\,[\,\mathrm {sen} (2\theta )+\mathrm {sen} (\theta )\,]\,{\vec {\jmath }}$

Nota: Se puede comprobar que se llega a la misma expresión de ${\overrightarrow {OP}}\,$ si, en la suma ${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {BP}}\,$, el vector ${\overrightarrow {OB}}\,$ es calculado como ${\overrightarrow {OB}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AB}}=L\,{\vec {\jmath }}+L\,[\,\mathrm {sen} (2\theta )\,{\vec {\imath }}+\mathrm {cos} (2\theta )\,{\vec {\jmath }}\,\,]\,$, donde se ha tenido en cuenta que el vector ${\overrightarrow {AB}}\,$ forma un ángulo $2\theta \,$ con el eje $OY\,$.

Componentes intrínsecas de la aceleración en el instante dado

Admitiendo (como nos propone el segundo apartado del problema) que se verifica la ley horaria:

$\theta (t)=\Omega \,t\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\dot {\theta }}=\Omega \,\,\mathrm {(cte)}$

la velocidad instantánea de la partícula, obtenida en el apartado anterior, queda expresada en función del tiempo como sigue:

${\vec {v}}(t)=2L\Omega \,\mathrm {cos} (2\,\Omega \,t)\,{\vec {\imath }}\,-\,2L\Omega \,[\,\mathrm {sen} (2\,\Omega \,t)\,+\,\mathrm {sen} (\Omega \,t)\,]\,{\vec {\jmath }}=2L\Omega \,\{\mathrm {cos} (2\,\Omega \,t)\,{\vec {\imath }}\,-\,[\,\mathrm {sen} (2\,\Omega \,t)\,+\,\mathrm {sen} (\Omega \,t)\,]\,{\vec {\jmath }}\,\,\}$

Comparando esta expresión con la que nos proporciona el segundo apartado del problema:

${\vec {v}}(t)=C\left\{\mathrm {cos} (2\,\Omega \,t)\,{\vec {\imath }}-[\,\mathrm {sen} (2\,\Omega \,t)+\,\mathrm {sen} (\Omega \,t)]\,{\vec {\jmath }}\,\,\right\}$

comprobamos que son identicas salvo en el detalle de que la constante $2L\Omega \,$ ha sido renombrada como $C\,$.

Derivando la velocidad instantánea respecto al tiempo, obtenemos la aceleración instantánea de la partícula:

${\vec {a}}(t)=-\Omega \,C\left\{2\,\mathrm {sen} (2\,\Omega \,t)\,{\vec {\imath }}+[\,2\,\mathrm {cos} (2\,\Omega \,t)+\,\mathrm {cos} (\Omega \,t)]\,{\vec {\jmath }}\,\,\right\}$

Evaluando la velocidad y la aceleración de la partícula en el instante propuesto:

$t=\pi /(4\,\Omega )\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\Omega \,t=\pi /4\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,2\,\Omega \,t=\pi /2$

se obtiene:

${\vec {v}}=-\,C\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right){\vec {\jmath }}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}=-\,\Omega \,C\left(2\,{\vec {\imath }}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\,{\vec {\jmath }}\,\right)$

Y las componentes intrínsecas de la aceleración de la partícula en el instante propuesto se pueden calcular mediante las siguientes fórmulas:

$a_{t}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {a}}}{|{\vec {v}}\,|}}=\Omega \,C\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{n}={\frac {|{\vec {v}}\times {\vec {a}}\,|}{|{\vec {v}}\,|}}=2\,\Omega \,C$

Trabajo neto en el intervalo dado

El trabajo neto realizado sobre la partícula en el intervalo de tiempo transcurrido entre $t=0\,$ y $t=\pi /(3\Omega )\,$ se puede obtener aplicando el teorema de la energía cinética, el cual dice que ese trabajo neto coincide con la variación de la energía cinética de la partícula en dicho intervalo:

$W=\Delta K={\frac {1}{2}}\,m\,\Delta (|{\vec {v}}\,|^{2})$

Necesitamos, pues, evaluar la celeridad de la partícula al inicio y al final del intervalo dado:

${\begin{array}{lllll}t=0&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}=C\,{\vec {\imath }}&\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,&|{\vec {v}}\,|=C\\\\t=\pi /(3\Omega )&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}=-\,C\left(\displaystyle {\frac {1}{2}}\,{\vec {\imath }}+{\sqrt {3}}\,{\vec {\jmath }}\,\right)&\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,&|{\vec {v}}\,|=\displaystyle {\frac {\sqrt {13}}{2}}\,C\end{array}}$

Entonces, sustituyendo valores en la expresión del teorema de la energía cinética, se obtiene:

$W={\frac {1}{2}}\,m\left({\frac {13}{4}}C^{2}-C^{2}\right)={\frac {9}{8}}\,m\,C^{2}$

Componente horizontal de la fuerza aplicada con la mano

Si la partícula realiza el movimiento descrito (con ley horaria $\theta (t)=\Omega \,t\,$) bajo la acción de tres fuerzas: su propio peso ($m{\vec {g}}\,$), la tensión que le ejerce el hilo (${\overrightarrow {T}}\,$) y una fuerza aplicada con la mano (${\vec {F}}_{\mathrm {m} }\,$), la segunda ley de Newton establece que:

$m{\vec {g}}+{\vec {T}}+{\vec {F}}_{\mathrm {m} }=m{\vec {a}}$

donde ${\vec {a}}\,$ es la aceleración instantánea de la partícula, anteriormente calculada:

${\vec {a}}=-\Omega \,C\left\{2\,\mathrm {sen} (2\,\Omega \,t)\,{\vec {\imath }}+[\,2\,\mathrm {cos} (2\,\Omega \,t)+\,\mathrm {cos} (\Omega \,t)]\,{\vec {\jmath }}\,\,\right\}$

Pero tanto el peso como la tensión ejercida por el hilo son fuerzas verticales (paralelas al eje $OY\,$). De modo que, si proyectamos la ecuación de la segunda ley de Newton sobre la dirección horizontal (multiplicándola escalarmente por el vector ${\vec {\imath }}\,$), se obtiene fácilmente la componente horizontal de la fuerza aplicada con la mano:

$\underbrace {m{\vec {g}}\cdot {\vec {\imath }}} _{=0}\,+\,\underbrace {{\overrightarrow {T}}\cdot {\vec {\imath }}} _{=0}\,+\,{\vec {F}}_{\mathrm {m} }\cdot \,{\vec {\imath }}=m{\vec {a}}\,\cdot \,{\vec {\imath }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {F}}_{\mathrm {m} }\cdot \,{\vec {\imath }}=m{\vec {a}}\,\cdot \,{\vec {\imath }}=-2\,m\,\Omega \,C\,\mathrm {sen} (2\,\Omega \,t)$