No Boletín - Partícula que cuelga de un hilo (Ex.Sep/14)

Enunciado

La barra rígida Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AB\,} -de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L\,} y masa despreciable- se mueve en el plano vertical Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY\,} , hallándose articulada en su extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} a un punto del eje vertical cuya posición es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}= L\vec{\jmath}\,} . Un hilo inextensible de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2L\,} tiene uno de sus extremos fijo en el origen del sistema de coordenadas (punto $O\,$), mientras que del otro extremo cuelga una partícula $P\,$ de masa $m\,$. El hilo se mantiene siempre tenso, se apoya sobre una pequeña polea de radio despreciable situada en el extremo $B\,$ de la barra, y en su tramo ${\overline {BP}}\,$ permanece en todo instante paralelo al eje $OY\,$ (ver figura). Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se define el ángulo $\theta \,$ que forman el tramo ${\overline {OB}}\,$ del hilo y el eje vertical $OY\,$ (considérese $0\leq \theta <\pi /2\,$).

1. Halle razonadamente el vector de posición de la partícula ${\overrightarrow {OP}}\,$ en función del parámetro $\theta \,$, así como la velocidad instantánea de la misma en función de $\theta \,$ y ${\dot {\theta }}\,$.
2. Suponga que se verifica la ley horaria $\theta (t)=\Omega t\,$ (donde $\Omega \,$ es una constante positiva conocida). Sabiendo que en tal caso la velocidad instantánea de la partícula $P\,$ viene dada por: ${\vec {v}}(t)=C\left\{\mathrm {cos} (2\Omega t)\,{\vec {\imath }}-[\mathrm {sen} (2\Omega t)+\,\mathrm {sen} (\Omega t)]\,{\vec {\jmath }}\,\right\}$ donde $C\,$ es otra constante positiva conocida, determine las componentes intrínsecas (tangencial y normal) de la aceleración de la partícula en el instante $t=\pi /(4\Omega )\,$, así como el trabajo neto realizado sobre la partícula en el intervalo de tiempo transcurrido entre $t=0\,$ y $t=\pi /(3\Omega )\,$.
3. Suponga que la partícula $P\,$ realiza el movimiento descrito en el apartado anterior bajo la acción de tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que le ejerce el hilo y una fuerza aplicada con la mano (esta última es necesaria para garantizar que el hilo permanezca siempre tenso y con su tramo ${\overline {BP}}\,$ vertical). Calcule la componente horizontal de la fuerza aplicada con la mano en función del tiempo.

Posición y velocidad instantánea

El vector de posición de la partícula ${\overrightarrow {OP}}\,$ es igual a la siguiente suma vectorial:

${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {BP}}$

El vector ${\overrightarrow {OB}}\,$ forma un ángulo $\theta \,$ con el eje vertical $OY\,$, mientras que el vector ${\overrightarrow {BP}}\,$ es paralelo al eje $OY\,$ y de sentido hacia abajo. Por tanto, expresados en función de sus respectivos módulos, quedan:

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OB}}=|{\overrightarrow {OB}}\,|\,[\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}+\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}\,\,]\\\\{\overrightarrow {BP}}=-|{\overrightarrow {BP}}\,|\,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

Pero los módulos $|{\overrightarrow {OB}}\,|\,$ y $|{\overrightarrow {BP}}\,|\,$ son fácilmente calculables en función de $\theta \,$. En primer lugar, $|{\overrightarrow {OB}}\,|\,$ es la longitud del lado desigual de un triángulo isósceles (triángulo $OBA\,$) cuyos lados iguales miden $L\,$ y cuyos ángulos iguales miden $\theta \,$; y en segundo lugar, $|{\overrightarrow {BP}}\,|\,$ es el resultado de restarle $|{\overrightarrow {OB}}|\,$ a $2L\,$ (longitud total del hilo):

${\begin{array}{lll}|{\overrightarrow {OB}}\,|=2L\,\mathrm {cos} (\theta )&\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,&{\overrightarrow {OB}}=2L\,\mathrm {cos} (\theta )\,[\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}\,+\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}\,\,]\\\\|{\overrightarrow {BP}}\,|=2L-|{\overrightarrow {OB}}\,|=2L\,[1-\mathrm {cos} (\theta )]&\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,&{\overrightarrow {BP}}=-2L\,[1-\mathrm {cos} (\theta )]\,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

Por tanto, el vector de posición de la partícula se puede expresar como:

${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {BP}}=2L\,\mathrm {cos} (\theta )\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}\,+\,2L\,[\,\mathrm {cos} ^{2}(\theta )\,+\,\mathrm {cos} (\theta )-\,1\,]\,{\vec {\jmath }}$

Pero utilizando las fórmulas trigonométricas:

$2\,\mathrm {sen} (\theta )\,\mathrm {cos} (\theta )=\mathrm {sen} (2\theta )\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {cos} ^{2}(\theta )={\frac {1+\mathrm {cos} (2\theta )}{2}}$

se llega a esta otra expresión alternativa del vector ${\overrightarrow {OP}}\,$:

${\overrightarrow {OP}}=L\,\mathrm {sen} (2\theta )\,{\vec {\imath }}+L\,[\,\mathrm {cos} (2\theta )+2\,\mathrm {cos} (\theta )-1\,]\,{\vec {\jmath }}$

Y derivando dicho vector de posición respecto al tiempo (mediante la regla de la cadena), se obtiene la velocidad instantánea de la partícula:

${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} \,{\overrightarrow {OP}}}{\mathrm {d} \,t}}={\dot {\theta }}\,{\frac {\mathrm {d} \,{\overrightarrow {OP}}}{\mathrm {d} \,\theta }}=2L\,{\dot {\theta }}\,\mathrm {cos} (2\theta )\,{\vec {\imath }}-2L\,{\dot {\theta }}\,[\,\mathrm {sen} (2\theta )+\mathrm {sen} (\theta )\,]\,{\vec {\jmath }}$

Nota: Se puede comprobar que se llega a la misma expresión de ${\overrightarrow {OP}}\,$ si, en la suma ${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {BP}}\,$, el vector ${\overrightarrow {OB}}\,$ es calculado como ${\overrightarrow {OB}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AB}}=L\,{\vec {\jmath }}+L\,[\,\mathrm {sen} (2\theta )\,{\vec {\imath }}+\mathrm {cos} (2\theta )\,{\vec {\jmath }}\,\,]\,$, donde se ha tenido en cuenta que el vector ${\overrightarrow {AB}}\,$ forma un ángulo $2\theta \,$ con el eje $OY\,$.

Componentes intrínsecas de la aceleración en el instante dado

Admitiendo (como nos propone el segundo apartado del problema) que se verifica la ley horaria:

$\theta (t)=\Omega \,t\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\dot {\theta }}=\Omega \,\,\mathrm {(cte)}$

la velocidad instantánea de la partícula, obtenida en el apartado anterior, queda expresada en función del tiempo como sigue:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(t)=2L\Omega\,\mathrm{cos}(2\,\Omega\, t)\,\vec{\imath}\,-\,2L\Omega\,[\,\mathrm{sen}(2\,\Omega\, t)\,+\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,]\,\vec{\jmath}=2L\Omega\,\{\mathrm{cos}(2\,\Omega\, t)\,\vec{\imath}\,-\,[\,\mathrm{sen}(2\,\Omega\, t)\,+\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,]\,\vec{\jmath}\,\,\} }

Comparando esta expresión con la que nos proporciona el segundo apartado del problema:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(t)=C\left\{\mathrm{cos}(2\,\Omega\, t)\,\vec{\imath}-[\,\mathrm{sen}(2\,\Omega\, t)+\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)]\,\vec{\jmath}\,\,\right\}}

comprobamos que son identicas salvo en el detalle de que la constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2L\Omega\,} ha sido renombrada como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} .

Derivando la velocidad instantánea respecto al tiempo, obtenemos la aceleración instantánea de la partícula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}(t)=-\Omega\, C\left\{2\,\mathrm{sen}(2\,\Omega\, t)\,\vec{\imath}+[\,2\,\mathrm{cos}(2\,\Omega\, t)+\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)]\,\vec{\jmath}\,\,\right\}}

Evaluando la velocidad y la aceleración de la partícula en el instante propuesto:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=\pi/(4\,\Omega)\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\Omega\,t=\pi/4\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,2\,\Omega\,t=\pi/2 }

se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=-\,C\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\vec{\jmath}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{a}=-\,\Omega\, C\left(2\,\vec{\imath}+\frac{\sqrt{2}}{2}\,\vec{\jmath}\,\right) }

Y las componentes intrínsecas de la aceleración de la partícula en el instante propuesto se pueden calcular mediante las siguientes fórmulas:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t=\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{|\vec{v}\,|}=\Omega\,C\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, a_n=\frac{|\vec{v}\times\vec{a}\,|}{|\vec{v}\,|}=2\,\Omega\, C }

Trabajo neto en el intervalo dado

El trabajo neto realizado sobre la partícula en el intervalo de tiempo transcurrido entre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=\pi/(3\Omega)\,} se puede obtener aplicando el teorema de la energía cinética, el cual dice que ese trabajo neto coincide con la variación de la energía cinética de la partícula en dicho intervalo:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W=\Delta K=\frac{1}{2}\,m\,\Delta(|\vec{v}\,|^2) }

Necesitamos, pues, evaluar la celeridad de la partícula al inicio y al final del intervalo dado:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lllll} t=0 &\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}=C\,\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, & |\vec{v}\,|=C \\ \\ t=\pi/(3\Omega) & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}=-\,C\left(\displaystyle\frac{1}{2}\,\vec{\imath}+\sqrt{3}\,\vec{\jmath}\,\right) & \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, & |\vec{v}\,|=\displaystyle\frac{\sqrt{13}}{2}\,C \end{array} }

Entonces, sustituyendo valores en la expresión del teorema de la energía cinética, se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W=\frac{1}{2}\,m\left(\frac{13}{4}C^2-C^2\right)=\frac{9}{8}\,m\,C^2 }

Componente horizontal de la fuerza aplicada con la mano

Si la partícula realiza el movimiento descrito (con ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)=\Omega\,t\,} ) bajo la acción de tres fuerzas: su propio peso (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{g}\,} ), la tensión que le ejerce el hilo (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{T}\,} ) y una fuerza aplicada con la mano (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_{\mathrm{m}}\,} ), la segunda ley de Newton establece que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{g}+\vec{T}+\vec{F}_{\mathrm{m}}=m\vec{a} }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\,} es la aceleración instantánea de la partícula, anteriormente calculada:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=-\Omega\, C\left\{2\,\mathrm{sen}(2\,\Omega\, t)\,\vec{\imath}+[\,2\,\mathrm{cos}(2\,\Omega\, t)+\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)]\,\vec{\jmath}\,\,\right\} }

Pero tanto el peso como la tensión ejercida por el hilo son fuerzas verticales (paralelas al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY\,} ). De modo que, si proyectamos la ecuación de la segunda ley de Newton sobre la dirección horizontal (multiplicándola escalarmente por el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}\,} ), se obtiene fácilmente la componente horizontal de la fuerza aplicada con la mano:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \underbrace{m\vec{g}\cdot\vec{\imath}}_{=0}\,+\,\underbrace{\overrightarrow{T}\cdot\vec{\imath}}_{=0}\,+\,\vec{F}_{\mathrm{m}}\cdot\,\vec{\imath}=m\vec{a}\,\cdot\,\vec{\imath}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{F}_{\mathrm{m}}\cdot\,\vec{\imath}=m\vec{a}\,\cdot\,\vec{\imath}=-2\,m\,\Omega\, C\,\mathrm{sen}(2\,\Omega\, t) }