No Boletín - Cuestión sobre curva de potencial V (Ex.Sep/14)

Enunciado

Una partícula se halla en el eje $OX\,$ sometida a la acción de una fuerza conservativa. La función energía potencial $U(x)\,$ y el nivel de energía mecánica $E\,$ de la partícula son los representados en la gráfica adjunta. ¿En qué posiciones está la partícula en reposo permanente?

Solución

¿Qué significa en términos cinemáticos estar en reposo permanente? Pues tener velocidad nula (reposo instantáneo) y aceleración nula (equilibrio, para que el reposo no sea meramente instantáneo sino permanente). Así que la partícula está en reposo permanente en la posición o posiciones en las que concurran estas dos circunstancias.

En la gráfica observamos la existencia de tres posiciones de reposo instantáneo (A, C y F), es decir, posiciones en las que coinciden los valores de energía potencial y energía mecánica de la partícula y en las que, por tanto, se anulan su energía cinética y su velocidad:

$\mathrm {En} \,\,\,\{\mathrm {A,C,F} \}\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,U=E\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,K=E-U={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{\,2}=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\dot {x}}=0$

Y observamos la existencia de tres posiciones de equilibrio (B, C y D), es decir, posiciones en las que la función energía potencial presenta un extremo relativo (máximo o mínimo) y en las que, por tanto, se anulan la fuerza conservativa $F\,$ (pendiente de la energía potencial cambiada de signo) y la aceleración de la partícula:

$\mathrm {En} \,\,\,\{\mathrm {B,C,D} \}\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} x}}=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,F=-{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} x}}=m{\ddot {x}}=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\ddot {x}}=0$

Hallando la intersección de estos dos conjuntos de posiciones, concluimos que la partícula está en reposo permanente sólo en la posición C:

$\{\mathrm {A,C,F} \}\cap \{\mathrm {B,C,D} \}\equiv \mathrm {C}$