Integrales primeras en un helicoidal uniforme (Ex.Ene/12)

Enunciado

Una partícula P, de masa $m\,$, se mueve con respecto a un triedro cartesiano OXYZ siguiendo la ecuación horaria:

${\overrightarrow {OP}}\equiv {\vec {r}}(t)=b\,\mathrm {sen} (\Omega t)\,{\vec {\imath }}+v_{o}t\,{\vec {\jmath }}-b\,\mathrm {cos} (\Omega t)\,{\vec {k}}$

siendo $b\,$, $\Omega \,$ y $v_{o}\,$ constantes conocidas.

1. Determine las componentes intrínsecas de la aceleración de la partícula y el radio de curvatura de su trayectoria.
2. Calcule la energía cinética de la partícula y la fuerza que causa el movimiento. Exprese y verifique matemáticamente la cualidad geométrica de la fuerza (condición de ortogonalidad) que guarda relación directa con el hecho de que la energía cinética sea integral primera.
3. Determine el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas. ¿Se conserva constante en el tiempo alguna de las componentes cartesianas de dicho momento cinético? En caso afirmativo, explique por qué ocurre esto verificando matemáticamente que se cumple la condición necesaria establecida en el correspondiente teorema de conservación.

Componentes intrínsecas de la aceleración y radio de curvatura

Derivando respecto al tiempo el vector de posición de la partícula P, se obtiene el vector velocidad instantánea; y derivando respecto al tiempo este último, se obtiene el vector aceleración instantánea:

${\vec {v}}=\displaystyle {\frac {d{\vec {r}}}{dt}}=\Omega b\,\mathrm {cos} (\Omega t)\,{\vec {\imath }}+v_{o}\,{\vec {\jmath }}+\Omega b\,\mathrm {sen} (\Omega t)\,{\vec {k}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}=\displaystyle {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=\Omega ^{2}b\,[-\mathrm {sen} (\Omega t)\,{\vec {\imath }}+\mathrm {cos} (\Omega t)\,{\vec {k}}\,]$

A continuación, calculamos la celeridad de la partícula (módulo de su velocidad instantánea):

$v=|{\vec {v}}|={\sqrt {\Omega ^{2}b^{2}\left[\mathrm {cos} ^{2}(\Omega t)+\mathrm {sen} ^{2}(\Omega t)\right]+v_{o}^{2}}}={\sqrt {\Omega ^{2}b^{2}+v_{o}^{2}}}$

Se observa que la celeridad es constante a lo largo del tiempo (movimiento uniforme), y deducimos por tanto que la componente tangencial de la aceleración es nula:

$a_{t}={\frac {dv}{dt}}=0\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\vec {a}}_{t}=a_{t}{\vec {T}}={\vec {0}}$

Esto implica que toda la aceleración de la partícula es aceleración normal. Y como es sabido que la componente normal de la aceleración es siempre mayor o igual que cero, ésta podrá calcularse entonces como el módulo del vector aceleración instantánea:

${\vec {a}}_{n}={\vec {a}}=\Omega ^{2}b\,[-\mathrm {sen} (\Omega t)\,{\vec {\imath }}+\mathrm {cos} (\Omega t)\,{\vec {k}}\,]\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,a_{n}=|{\vec {a}}_{n}|=|{\vec {a}}|=\Omega ^{2}b{\sqrt {\mathrm {sen} ^{2}(\Omega t)+\mathrm {cos} ^{2}(\Omega t)}}=\Omega ^{2}b$

De todos modos, otra posibilidad para determinar las componentes tangencial y normal de la aceleración de la partícula consiste simplemente en aplicar las siguientes fórmulas deducidas en la teoría:

$a_{t}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {a}}}{v}}=0\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{n}={\frac {|{\vec {v}}\wedge {\vec {a}}|}{v}}=\Omega ^{2}b$

Por último, el radio de curvatura de la trayectoria puede determinarse a partir de la celeridad y de la componente normal de la aceleración mediante la fórmula:

$R_{\kappa }={\frac {v^{2}}{a_{n}}}={\frac {\Omega ^{2}b^{2}+v_{o}^{2}}{\Omega ^{2}b}}=b+{\frac {v_{o}^{2}}{\Omega ^{2}b}}$

Energía cinética y fuerza

La energía cinética de la partícula se obtiene de su propia definición, y resulta ser independiente del tiempo (integral primera):

$K={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m\left(\Omega ^{2}b^{2}+v_{o}^{2}\right)$

La fuerza que causa el movimiento de la partícula se obtiene de la segunda ley de Newton:

${\vec {F}}=m{\vec {a}}=m\Omega ^{2}b\,[-\mathrm {sen} (\Omega t)\,{\vec {\imath }}+\mathrm {cos} (\Omega t)\,{\vec {k}}\,]$

Según el teorema de la energía en su versión instantánea, la derivada temporal de la energía cinética de una partícula coincide con la potencia mecánica desarrollada sobre la misma:

$P={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}={\frac {dK}{dt}}$

Por tanto, en el caso que nos ocupa, el hecho de que la energía cinética sea una integral primera (tiene derivada temporal nula) conlleva que la fuerza causante del movimiento es necesariamente ortogonal a la velocidad instantánea:

${\frac {dK}{dt}}=0\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\vec {F}}\cdot {\vec {v}}=0\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\vec {F}}\perp {\vec {v}}$

Verifiquemos que efectivamente el producto escalar de fuerza y velocidad instantánea es nulo:

${\vec {F}}\cdot {\vec {v}}=m\Omega ^{3}b^{2}[-\mathrm {sen} (\Omega t)\,\mathrm {cos} (\Omega t)+\mathrm {cos} (\Omega t)\,\mathrm {sen} (\Omega t)]=0$

Momento cinético y momento de fuerza

El momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas se obtiene de su propia definición:

${\vec {L}}_{O}={\overrightarrow {OP}}\wedge \,m{\vec {v}}=m\,v_{o}b\,[\Omega t\,\mathrm {sen} (\Omega t)+\mathrm {cos} (\Omega t)]\,{\vec {\imath }}\,-\,m\Omega b^{2}\,{\vec {\jmath }}\,+\,m\,v_{o}b\,[\mathrm {sen} (\Omega t)-\Omega t\,\mathrm {cos} (\Omega t)]\,{\vec {k}}$

Observamos en la expresión obtenida que la segunda componente cartesiana (componente-y) de dicho momento cinético se conserva constante en el tiempo:

$(L_{O})_{y}=-m\Omega b^{2}\,\,\,\mathrm {(cte)}$

El teorema del momento cinético establece que la derivada temporal del momento cinético de una partícula (respecto a un punto fijo) coincide con el momento de la fuerza aplicada sobre ella (respecto a dicho punto fijo):

${\frac {d{\vec {L}}_{O}}{dt}}={\overrightarrow {M}}_{O}$

Y realizando el producto escalar de esta ecuación vectorial por el vector unitario ${\vec {\jmath }}\,$ (que es un vector constante), se obtiene:

${\frac {d(L_{O})_{y}}{dt}}={\frac {d\left({\vec {L}}_{O}\cdot {\vec {\jmath }}\,\right)}{dt}}={\frac {d{\vec {L}}_{O}}{dt}}\cdot {\vec {\jmath }}={\overrightarrow {M}}_{O}\cdot {\vec {\jmath }}=(M_{O})_{y}$

Por tanto, el correspondiente teorema de conservación establece que $(L_{O})_{y}\,$ se conserva constante en el tiempo si $(M_{O})_{y}\,$ es nula:

$(M_{O})_{y}=0\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\frac {d(L_{O})_{y}}{dt}}=0\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,(L_{O})_{y}=\mathrm {cte}$

Para verificar el cumplimiento de dicha condición en el caso que nos ocupa, calculamos el momento de la fuerza respecto al origen de coordenadas:

${\overrightarrow {M}}_{O}={\overrightarrow {OP}}\wedge {\vec {F}}=mv_{o}b\,\Omega ^{2}t\,[\mathrm {cos} (\Omega t)\,{\vec {\imath }}+\mathrm {sen} (\Omega t)\,{\vec {k}}\,]$

Y efectivamente se observa que la segunda componente cartesiana (componente-y) del vector momento de fuerza obtenido es nula:

$(M_{O})_{y}=0$