No Boletín - Partícula colgada de dos hilos (Ex.Dic/11)

Enunciado

Una partícula de peso 300 N cuelga de un techo horizontal sujeta por dos hilos ("1" y "2"). El hilo "1" forma un ángulo de 30º con la vertical, mientras que el hilo "2" forma uno de 60º con la vertical. ¿Cuánto valen, en módulo, las tensiones de los dos hilos?

Solución

Supongamos que OXZ es el plano vertical que contiene a los dos hilos tensos. La partícula se halla sometida a la acción de su peso y de las tensiones ejercidas por ambos hilos:

${\begin{array}{rclcl}\displaystyle m{\vec {g}}&=&-mg\,{\vec {k}}&=&(-300\,{\vec {k}})\,\mathrm {N} \\&&&&\\\displaystyle {\vec {T}}_{1}&=&-|{\vec {T}}_{1}|\,\mathrm {sen} (30^{\circ })\,{\vec {\imath }}+|{\vec {T}}_{1}|\,\mathrm {cos} (30^{\circ })\,{\vec {k}}&=&\displaystyle -{\frac {1}{2}}\,|{\vec {T}}_{1}|\,{\vec {\imath }}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\,|{\vec {T}}_{1}|\,{\vec {k}}\\&&&&\\\displaystyle {\vec {T}}_{2}&=&|{\vec {T}}_{2}|\,\mathrm {sen} (60^{\circ })\,{\vec {\imath }}+|{\vec {T}}_{2}|\,\mathrm {cos} (60^{\circ })\,{\vec {k}}&=&\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,|{\vec {T}}_{2}|\,{\vec {\imath }}+{\frac {1}{2}}\,|{\vec {T}}_{2}|\,{\vec {k}}\end{array}}$

La condición de equilibrio exige que:

$m{\vec {g}}+{\vec {T}}_{1}+{\vec {T}}_{2}={\vec {0}}$

Separando en componentes cartesianas:

${\begin{array}{rcl}\displaystyle -{\frac {1}{2}}\,|{\vec {T}}_{1}|+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\,|{\vec {T}}_{2}|&=&0\\&&\\\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,|{\vec {T}}_{1}|+{\frac {1}{2}}\,|{\vec {T}}_{2}|&=&300\,\mathrm {N} \end{array}}$

y resolviendo el sistema de ecuaciones:

$|{\vec {T}}_{1}|=260\,\mathrm {N} \,\,;$     $|{\vec {T}}_{2}|=150\,\mathrm {N}$