No Boletín - Ecuaciones horarias en coordenadas polares (Ex.Feb/14)

Enunciado

El movimiento de una partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} , de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\,} , en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY\,} queda descrito en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho(t)=2R\,[1+\mathrm{cos}(\Omega t)]\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\theta(t)=\Omega t }

siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega\,} constantes positivas conocidas.

1. Determine la velocidad y la aceleración de la partícula en componentes polares.
2. Halle las componentes intrínsecas de la aceleración de la partícula, y el radio de curvatura de su trayectoria.
3. Calcule la energía cinética de la partícula, y la potencia instantánea desarrollada por la fuerza neta que actúa sobre la partícula.
4. ¿Es el movimiento de la partícula un movimiento central con centro en el origen de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} ? Razone la respuesta.

Velocidad y aceleración

La velocidad y la aceleración en componentes polares vienen dadas por las expresiones:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{a}=\left(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{2}\right)\, \vec{u}_{\rho}+\left(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,\right)\,\vec{u}_{\theta} }

Necesitamos, por tanto, calcular las derivadas de primer y segundo orden de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} respecto al tiempo:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\rho}=-2R\,\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ddot{\rho}=-2R\,\Omega^2\,\mathrm{cos}(\Omega t)\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dot{\theta}=\Omega\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ddot{\theta}=0 }

y sustituyendo en las expresiones de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\,} , se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=-2R\,\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\,\vec{u}_{\rho}\,+\, 2R\,\Omega\,[1+\,\mathrm{cos}(\Omega t)]\,\vec{u}_{\theta}\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{a}=-2R\,\Omega^2\,[1\,+\,2\,\mathrm{cos}(\Omega t)]\,\vec{u}_{\rho}-\, 4R\,\Omega^2\mathrm{sen}(\Omega t)\,\vec{u}_{\theta} }

Componentes intrínsecas de la aceleración y radio de curvatura

Podemos calcular la componente tangencial de la aceleración como la derivada respecto al tiempo de la celeridad:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v=|\vec{v}\,|=2\sqrt{2}\,R\,\Omega\,\sqrt{1+\mathrm{cos}(\Omega t)}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,a_t=\displaystyle\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-\sqrt{2}\,R\,\Omega^2\,\displaystyle\frac{\mathrm{sen}(\Omega t)}{\sqrt{1+\mathrm{cos}(\Omega t)}} }

Otra posibilidad sería calcular la componente tangencial de la aceleración proyectando el vector aceleración sobre la dirección del vector velocidad (que es tangente a la trayectoria):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t=\displaystyle\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{v} }

La componente normal de la aceleración podemos calcularla proyectando el vector aceleración sobre la dirección normal al vector velocidad:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_n=\displaystyle\frac{|\vec{v}\times\vec{a}|}{v}=3\,\sqrt{2}\,R\,\Omega^2\,\sqrt{1+\,\mathrm{cos}(\Omega t)} }

El radio de curvatura se obtiene a partir de la componente normal de la aceleración y de la celeridad:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_{\kappa}=\displaystyle\frac{v^2}{a_n}=\displaystyle\frac{4\,\sqrt{2}\,R}{3}\,\sqrt{1+\,\mathrm{cos}(\Omega t)} }

Energía cinética y potencia instantánea

A partir de la expresión de la celeridad, calculada anteriormente, se obtiene la energía cinética de la partícula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K=\displaystyle\frac{1}{2}m v^2=4\, m R^2\,\Omega^2\,[1+\mathrm{cos}(\Omega t)] }

La potencia instantánea desarrollada por la fuerza neta que actúa sobre la partícula puede calcularse como derivada temporal de la energía cinética:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P=\displaystyle\frac{dK}{dt}=-\,4\, m R^2\,\Omega^3\,\mathrm{sen}(\Omega t) }

o bien puede calcularse también mediante el producto escalar de la fuerza neta por la velocidad: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,P=\vec{F}\cdot\vec{v}=m\,\vec{a}\cdot\vec{v}\,}

¿Es un movimiento central con centro en el punto O?

La partícula tendría un movimiento central con centro en el origen de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} si la fuerza neta que actúa sobre ella fuese paralela al vector de posición (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}=m\,\vec{a}\,\parallel\,\vec{r}=\rho\,\vec{u}_{\rho}\,} ), es decir, si la componente acimutal de la aceleración fuese cero en todo instante de tiempo. Es evidente que en el presente ejercicio esto no se cumple, ya que dicha componente tiene el siguiente valor:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_{\theta}=-\,4R\,\Omega^2\mathrm{sen}(\Omega t)\,\neq\,0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{no}\,\,\mathrm{es}\,\,\mathrm{movimiento}\,\,\mathrm{central}\,\,\mathrm{con}\,\,\mathrm{centro}\,\,\mathrm{en}\,\, O }

Otra forma de comprobarlo es calculando la velocidad areolar respecto al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} , la cual tendría que ser constante en el tiempo para que el movimiento fuese central con centro en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} . En este caso no es constante:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_{A}=\displaystyle\frac{1}{2}\,\rho^2\,\dot{\theta}=2\,R^2\,\Omega\,[1+\mathrm{cos}(\Omega t)]^2\,\neq\,\mathrm{cte}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{no}\,\,\mathrm{es}\,\,\mathrm{movimiento}\,\,\mathrm{central}\,\,\mathrm{con}\,\,\mathrm{centro}\,\,\mathrm{en}\,\, O }