No Boletín - Partícula en semicircunferencia (Ex.Dic/12)

Enunciado

En el plano vertical $OXZ\,$ (gravedad: ${\vec {g}}=-g\,{\vec {k}}\,$), se halla una partícula $P\,$, de masa $m\,$, ensartada sin rozamiento en la semicircunferencia fija, de radio $R\,$, que se muestra en la figura. Dicha partícula es solicitada desde el eje $OZ\,$ por un resorte elástico $QP\,$, de constante recuperadora $k=2mg/R\,$ y longitud natural nula. El extremo $Q\,$ se puede desplazar sobre el eje $OZ\,$, de tal modo que el resorte permanece en todo instante paralelo al eje $OX\,$.

Utilizando la coordenada acimutal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} para describir la posición de la partícula, y la base polar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{u}_{\rho}, \vec{u}_{\theta}\}\,} para expresar las magnitudes vectoriales, se pide:

1. Determinar la posición de equilibrio existente en el intervalo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\pi/2<\theta<\pi/2\,} , así como la fuerza de reacción vincular que soportaría la partícula si se hallase en equilibrio en dicha posición.
2. Expresar la energía potencial de la partícula como una función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} , y discutir si la posición de equilibrio del apartado anterior es estable o inestable.
3. Deducir razonadamente (mediante algún teorema de conservación) una integral primera del movimiento de la partícula, expresarla como una función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}\,} , y determinar su valor constante para el caso en que las condiciones iniciales sean: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(0)=-\pi/2\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}(0)=\sqrt{2g/R}\,} .

Posición de equilibrio y fuerza de reacción vincular

Sobre la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} actúan tres fuerzas: dos de naturaleza activa (su peso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{g}\,} y la fuerza elástica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_k\,} ejercida por el resorte) y una de reacción vincular (la fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}\,} ejercida por la semicircunferencia). Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}\,} es perpendicular al propio vínculo y, por tanto, tiene dirección radial. En la figura adjunta se muestra el diagrama de las fuerzas, cuyas expresiones analíticas en la base polar son las siguientes:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{l} m\vec{g}=-mg\,[\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{u}_{\rho}+\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{u}_{\theta}] \\ \\ \vec{F}_k=-k\,\overrightarrow{QP}=-\displaystyle\frac{2\,mg}{R}R\,\mathrm{cos}(\theta)\,[\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{u}_{\rho}-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{u}_{\theta}]= \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,=-2\,mg\,[\mathrm{cos}^2(\theta)\,\vec{u}_{\rho}-\mathrm{sen}(\theta)\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{u}_{\theta}] \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\rho} \end{array}\right. }

Exigimos la condición de equilibrio: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,m\vec{g}+\vec{F}_k+\vec{\Phi}=\vec{0}}

y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{l} -mg\,\mathrm{sen}(\theta_{\mathrm{eq}})-2\,mg\,\mathrm{cos}^2(\theta_{\mathrm{eq}})+\Phi=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\ -mg\,\mathrm{cos}(\theta_{\mathrm{eq}})+2\,mg\,\mathrm{sen}(\theta_{\mathrm{eq}})\,\mathrm{cos}(\theta_{\mathrm{eq}})=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2) \end{array}\right. }

La ecuación (2) nos permite determinar las posiciones de equilibrio:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle mg\,\mathrm{cos}(\theta_{\mathrm{eq}})\,[-1+2\,\mathrm{sen}(\theta_{\mathrm{eq}})]=0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \mathrm{cos}(\theta_{\mathrm{eq}})=0\,\Rightarrow\,\mathrm{sin}\,\,\mathrm{solucion}\,\,\mathrm{en}\,\,\mathrm{el}\,\,\mathrm{intervalo}\,\, -\displaystyle\frac{\pi}{2}<\theta_{\mathrm{eq}}<\displaystyle\frac{\pi}{2} \\ \\ -1+2\,\mathrm{sen}(\theta_{\mathrm{eq}})=0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\theta_{\mathrm{eq}}=\displaystyle\frac{\pi}{6}\,\mathrm{rad} \end{array}\right. }

La fuerza de reacción vincular en la posición de equilibrio se obtiene despejando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Phi\,} en la ecuación (1) y sustituyendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta_{\mathrm{eq}}=\displaystyle\frac{\pi}{6}\,\mathrm{rad}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Phi=mg\,[\mathrm{sen}(\theta_{\mathrm{eq}})+2\,\mathrm{cos}^2(\theta_{\mathrm{eq}})]=2\,mg \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=2\,mg \,\vec{u}_{\rho} }

Energía potencial y discusión de la estabilidad/inestabilidad del equilibrio

Tanto el peso como la fuerza elástica son fuerzas conservativas. Por tanto, la energía potencial de la partícula es la suma de sus energías potenciales gravitatoria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_g\,} y elástica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_k\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U=U_g+U_k=mgz+\frac{1}{2}k|\overrightarrow{QP}|^2=mgR\,\mathrm{sen}(\theta)+\frac{1}{2}\,\frac{2mg}{R}\,[R\,\mathrm{cos}(\theta)]^2=mgR\,[\mathrm{sen}(\theta)+\mathrm{cos}^2(\theta)] }

Nótese que las expresiones propuestas para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_g\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_k\,} corresponden a tomar sus respectivos orígenes en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=0\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\overrightarrow{QP}|=0\,} . Asimismo, obsérvese cómo la expresión final a la que se ha reducido la energía potencial pone de manifiesto que ésta depende exclusivamente de la posición de la partícula (definida mediante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} ).

La posición de equilibrio de la partícula podría haberse obtenido de forma alternativa calculando los extremos (máximos o mínimos) de la función energía potencial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U\,} . Para ello, se iguala a cero la primera derivada de la función respecto a su variable:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\frac{dU}{d\theta}\right|_{\theta=\theta_{\mathrm{eq}}}=mgR\,\mathrm{cos}(\theta_{\mathrm{eq}})[1-2\,\mathrm{sen}(\theta_{\mathrm{eq}})]=0 }

Como vimos en el apartado anterior, la única solución de equilibrio en el intervalo definido por el enunciado es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta_{\mathrm{eq}}=\displaystyle\frac{\pi}{6}\,\mathrm{rad}\,} . Que dicha posición de equilibrio sea estable o inestable depende de si el extremo que la función Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U\,} tiene en dicho punto es un mínimo o un máximo, respectivamente. Necesitamos, por tanto, evaluar en dicho punto la segunda derivada de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U\,} respecto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\frac{d^2U}{d\theta^2}\right|_{\theta=\frac{\pi}{6}}=-mgR\,[\mathrm{sen}(\theta)+2\,\mathrm{cos}(2\,\theta)]_{\theta=\frac{\pi}{6}}=-\frac{3}{2}mgR<0 }

Al ser negativa la derivada segunda, se concluye que dicha posición de equilibrio corresponde a un máximo de energía potencial y, por tanto, se trata de una posición de equilibrio inestable.

Deducción de una integral primera y evaluación de la misma

La fuerza de reacción vincular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}\,} no trabaja sobre la partícula por ser siempre perpendicular a su desplazamiento (vínculo liso y esclerónomo). Así que todas las fuerzas que trabajan sobre la partícula (peso y elástica) son conservativas, y por tanto se conserva constante en el tiempo su energía mecánica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E\,} (suma de su energía cinética Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K\,} y su energía potencial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U\,} ). Dicho de otro modo, el teorema de conservación de la energía mecánica nos ha proporcionado la integral primera del movimiento de la partícula que nos pedía este apartado: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E\,} es una integral primera.

La velocidad de la partícula expresada en la base polar viene dada en general por:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} }

pero al particularizar para la trayectoria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho=R\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\rho}=0\,} , queda:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=R\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} }

Así que la energía cinética de la partícula vale:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2 }

que sumada con la energía potencial (obtenida en el apartado anterior) nos da como resultado la energía mecánica de la partícula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E(\theta,\dot{\theta})=K+U=\frac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2+mgR\,[\mathrm{sen}(\theta)+\mathrm{cos}^2(\theta)]=\mathrm{cte} }

El valor constante de esta integral primera se determina evaluando su expresión para las condiciones iniciales dadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(0)=-\pi/2\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}(0)=\sqrt{2g/R}\,} .

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E\left(-\frac{\pi}{2},\sqrt{\frac{2g}{R}}\,\right)=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2+mgR\,[\mathrm{sen}(\theta)+\mathrm{cos}^2(\theta)]=0 }