No Boletín - Muelle en plano inclinado II (Ex.Ene/19)

Enunciado

Una partícula $P\,$, de masa $m\,$, desliza sin rozamiento a lo largo de una rampa de inclinación $\theta \,$ respecto a la horizontal. Durante su movimiento, la partícula $P\,$ está sometida a la acción de su propio peso y es solicitada desde un punto fijo $O\,$ (ver figura) mediante un resorte elástico $OP\,$ de constante recuperadora $k\,$ y longitud natural $l_{0}\,$. Se describe la posición de la partícula $P\,$ mediante su coordenada $x\,$ en la escuadra $OXY\,$ de la figura.

1. ¿Cuánto vale la fuerza vincular ${\vec {\Phi }}\,$ que la rampa ejerce sobre la partícula $P\,$?
2. ¿Qué ecuación diferencial satisface la función $x(t)\,$ que describe la posición de la partícula $P\,$ en cada instante?
3. ¿Cuál es la posición de equilibrio de la partícula $P\,$?

Segunda ley de Newton (fuerza vincular y ecuación diferencial de segundo orden)

Sobre la partícula $\,P\,$ actúan dos fuerzas de naturaleza activa (su peso $\,m{\vec {g}}\,$ y la fuerza elástica ${\vec {F}}_{k}\,$ que le ejerce el resorte) y una fuerza de reacción vincular (la fuerza $\,{\vec {\Phi }}\,$ que le ejerce la rampa). La fuerza $\,{\vec {\Phi }}\,$ tiene la dirección perpendicular a la superficie de la rampa (no hay rozamiento) y su sentido es hacia el exterior de la rampa (vínculo unilateral). Las expresiones analíticas de las tres fuerzas en la base cartesiana propuesta son las siguientes:

$\left\{{\begin{array}{l}m{\vec {g}}=mg\,[\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}-\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}\,\,]\\\\{\vec {F}}_{k}=-k(x-l_{0})\,{\vec {\imath }}\\\\{\vec {\Phi }}=\Phi \,{\vec {\jmath }}\end{array}}\right.$

La aceleración de la partícula expresada en la base cartesiana propuesta viene dada por:   $\,{\vec {a}}={\ddot {x}}\,{\vec {\imath }}$

Planteamos la segunda ley de Newton:   $m{\vec {g}}+{\vec {F}}_{k}+{\vec {\Phi }}=m\,{\vec {a}}$   y la proyectamos sobre la base cartesiana propuesta, obteniendo dos ecuaciones escalares:

$\left\{{\begin{array}{l}mg\,\mathrm {sen} (\theta )-k(x-l_{0})=m\,{\ddot {x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\\\-mg\,\mathrm {cos} (\theta )+\Phi =0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array}}\right.$

El módulo $\Phi \,$ de la fuerza vincular se obtiene despejando en la ecuación (2):

$\mathrm {(2)} \,\,\,\longrightarrow \,\,\,\Phi =mg\,\mathrm {cos} (\theta )$

Por tanto, la fuerza vincular que la rampa ejerce sobre la partícula viene dada por la expresión:

${\vec {\Phi }}=mg\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}$

La ecuación (1) nos proporciona la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función $\,x(t)$:

$\mathrm {(1)} \,\,\,\longrightarrow \,\,\,m\,{\ddot {x}}-mg\,\mathrm {sen} (\theta )+k(x-l_{0})=0$

Integral primera del movimiento (ecuación diferencial de primer orden)

La fuerza vincular ${\vec {\Phi }}\,$ no trabaja sobre la partícula por ser siempre perpendicular a su desplazamiento (vínculo liso y esclerónomo). Así que las dos fuerzas que trabajan sobre la partícula (su peso y la fuerza elástica) son conservativas, y por tanto se conserva constante en el tiempo su energía mecánica $E\,$ (suma de su energía cinética $K\,$ y sus energías potenciales gravitatoria $U_{g}\,$ y elástica $U_{k}\,$). Dicho de otro modo, el teorema de conservación de la energía mecánica nos permite deducir que $E\,$ es una integral primera del movimiento de la partícula:

$E=K+U_{g}+U_{k}=\mathrm {cte} \,$

Abordemos ahora la tarea de expresar la energía mecánica como una función de $\,x\,$ y $\,{\dot {x}}$.

La velocidad de la partícula expresada en la base cartesiana propuesta viene dada por:  

${\vec {v}}={\dot {x}}\,{\vec {\imath }}$

Así que la energía cinética de la partícula vale:

$K={\frac {1}{2}}\,m\,v^{\,2}={\frac {1}{2}}m\,{\dot {x}}^{\,2}$

Por otra parte, la energía potencial gravitatoria de la partícula es:

$U_{g}=mg[-x\,\mathrm {sen} (\theta )]\,=-mg\,\mathrm {sen} (\theta )\,x$

Obsérvese que la expresión propuesta para $U_{g}\,$ corresponde a tomar el origen de energía potencial gravitatoria en $\,x=0\,\,$, siendo $[-x\,\mathrm {sen} (\theta )]\,$ la altura de la partícula respecto a dicho origen (nótese que el eje $OX\,$ apunta hacia abajo).

Por último, la energía potencial elástica de la partícula es:

$U_{k}={\frac {1}{2}}k\,(x-l_{0})^{\,2}$

La suma de energía cinética y energía potencial total nos da como resultado la energía mecánica de la partícula:

$E(x,{\dot {x}})=K+U_{g}+U_{k}={\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {x}}^{\,2}\!-mg\,\mathrm {sen} (\theta )\,x+{\frac {1}{2}}\,k\,(x-l_{0})^{\,2}=\mathrm {cte}$

Desde un punto de vista matemático, la integral primera que acabamos de obtener nos proporciona una ecuación diferencial de primer orden que debe ser satisfecha por la función $\,x(t)$:

${\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {x}}^{\,2}\!-mg\,\mathrm {sen} (\theta )\,x+{\frac {1}{2}}\,k\,(x-l_{0})^{\,2}=\mathrm {cte}$

Puede comprobarse que, derivando respecto al tiempo esta ecuación diferencial de primer orden (y simplificando), se llega a la ecuación diferencial de segundo orden que se obtuvo a partir de la segunda ley de Newton en el apartado anterior.

Por tanto, ante la pregunta de cuál es la ecuación diferencial que debe satisfacer la función $x(t)\,$, es igualmente correcto responder con la ecuación diferencial de segundo orden obtenida en el apartado anterior o con la ecuación diferencial de primer orden obtenida en el presente apartado.

Posición de equilibrio

La condición de equilibrio mecánico para una partícula consiste en la nulidad de la fuerza neta que actúa sobre ella:   $m{\vec {g}}+{\vec {F}}_{k}+{\vec {\Phi }}={\vec {0}}$.   Y proyectando esta ecuación vectorial sobre la dirección del eje $OX\,$, se obtiene la siguiente ecuación escalar:

$mg\,\mathrm {sen} (\theta )-k(x-l_{0})=0$

Y despejando en dicha ecuación, se obtiene la posición de equilibrio de la partícula:

$x=l_{0}+\displaystyle {\frac {mg\,\mathrm {sen} (\theta )}{k}}$