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No Boletín - Partícula unida a un muelle (Ex.Sep/14)

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula de masa m\, se halla sujeta al extremo de un muelle cuyo otro extremo permanece fijo. El muelle tiene constante elástica k\, y, bajo su acción exclusiva, la partícula realiza un movimiento armónico simple. ¿Qué relación existe entra la celeridad máxima v_{\mathrm{max}}\, que alcanza la partícula durante el movimiento y la amplitud A\, de su oscilación?

2 Solución

Definiendo el eje OX de tal modo que sea colineal con el movimiento rectilíneo de la partícula y que tenga su origen O en la posición de equilibrio de la misma, la segunda ley de Newton proyectada sobre dicho eje OX establecerá:


-kx=m\ddot{x} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ddot{x}=-\,\frac{k}{m}\,x

ecuación diferencial que efectivamente reconocemos como la de un movimiento armónico simple de frecuencia angular \sqrt{k/m}\,, y cuya solución sabemos que puede expresarse así:


x(t)=A\,\mathrm{cos}\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\,t+\varphi_0\right)

donde A\, y \varphi_0\, son, respectivamente, la amplitud y la fase inicial del movimiento armónico simple.

Derivando respecto al tiempo la posición x(t)\, de la partícula y tomando valor absoluto, obtenemos su celeridad:


v(t)=|\,\dot{x}(t)\,|=\left|-\,\sqrt{\frac{k}{m}}\,A\,\,\mathrm{sen}\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\,t+\varphi_0\right)\right|=\sqrt{\frac{k}{m}}\,A\,\left|\mathrm{sen}\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\,t+\varphi_0\right)\right|

Y teniendo en cuenta que el valor máximo del valor absoluto del seno es la unidad, deducimos la relación existente entre la celeridad máxima v_{\mathrm{max}}\, que alcanza la partícula durante el movimiento y la amplitud A\, de su oscilación:


v_{\mathrm{max}}=\sqrt{\frac{k}{m}}\,\,A \,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, A=\sqrt{\frac{m}{k}}\,\,v_{\mathrm{max}}

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