No Boletín - Partícula unida a un muelle (Ex.Sep/14)

Enunciado

Una partícula de masa $m\,$ se halla sujeta al extremo de un muelle cuyo otro extremo permanece fijo. El muelle tiene constante elástica $k\,$ y, bajo su acción exclusiva, la partícula realiza un movimiento armónico simple. ¿Qué relación existe entra la celeridad máxima $v_{\mathrm {max} }\,$ que alcanza la partícula durante el movimiento y la amplitud $A\,$ de su oscilación?

Solución

Definiendo el eje OX de tal modo que sea colineal con el movimiento rectilíneo de la partícula y que tenga su origen O en la posición de equilibrio de la misma, la segunda ley de Newton proyectada sobre dicho eje OX establecerá:

$-kx=m{\ddot {x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\ddot {x}}=-\,{\frac {k}{m}}\,x$

ecuación diferencial que efectivamente reconocemos como la de un movimiento armónico simple de frecuencia angular ${\sqrt {k/m}}\,$, y cuya solución sabemos que puede expresarse así:

$x(t)=A\,\mathrm {cos} \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}\,t+\varphi _{0}\right)$

donde $A\,$ y $\varphi _{0}\,$ son, respectivamente, la amplitud y la fase inicial del movimiento armónico simple.

Derivando respecto al tiempo la posición $x(t)\,$ de la partícula y tomando valor absoluto, obtenemos su celeridad:

$v(t)=|\,{\dot {x}}(t)\,|=\left|-\,{\sqrt {\frac {k}{m}}}\,A\,\,\mathrm {sen} \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}\,t+\varphi _{0}\right)\right|={\sqrt {\frac {k}{m}}}\,A\,\left|\mathrm {sen} \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}\,t+\varphi _{0}\right)\right|$

Y teniendo en cuenta que el valor máximo del valor absoluto del seno es la unidad, deducimos la relación existente entre la celeridad máxima $v_{\mathrm {max} }\,$ que alcanza la partícula durante el movimiento y la amplitud $A\,$ de su oscilación:

$v_{\mathrm {max} }={\sqrt {\frac {k}{m}}}\,\,A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,A={\sqrt {\frac {m}{k}}}\,\,v_{\mathrm {max} }$