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No Boletín - Partícula sujeta por dos hilos realizando un m.c.u. (Ex.Feb/17)

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula P\,, de masa m\,, describe con celeridad constante una circunferencia horizontal de radio R\, y centro en O\,. La partícula realiza dicho movimiento circular y uniforme bajo la acción de su propio peso (m\vec{g}\,) y de las dos fuerzas (\vec{\Phi}_{A}\, y \vec{\Phi}_{B}\,) que le ejercen, respectivamente, sendos hilos tensos de idéntica longitud y anclados en los puntos A\, y B\, del eje OZ\, (puntos equidistantes del punto O\,).

Sea \theta\, el ángulo que forma cada uno de los dos hilos con el plano horizontal durante el movimiento de P\, (ver figura).

Se sabe que el módulo de la fuerza ejercida por el hilo superior (el anclado en B\,) es el cuádruple del módulo de la fuerza ejercida por el hilo inferior (el anclado en A\,):


|\vec{\Phi}_{B}|=4\,|\vec{\Phi}_{A}|

Se pide:

  1. El módulo |\vec{\Phi}_{A}|\, de la fuerza ejercida por el hilo inferior.
  2. El módulo |\,\vec{\omega}\,|\, de la velocidad angular de la partícula P\,.

2 Solución

La partícula P\, describe una circunferencia de radio R\, bajo la acción de tres fuerzas: su peso m\vec{g}\,, la tensión \vec{\Phi}_{A}\, del hilo inferior y la tensión \vec{\Phi}_{B}\, del hilo superior. Utilizaremos el triedro intrínseco \{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}\, de la circunferencia para expresar las magnitudes vectoriales.

El peso es una fuerza activa y, como tal, es conocida a priori:


m\vec{g}=-mg\,\vec{B}

Sin embargo, las tensiones de los hilos son fuerzas de reacción vincular, de módulos respectivos |\vec{\Phi}_{A}|\, y |\vec{\Phi}_{B}|=4\,|\vec{\Phi}_{A}|\, en principio desconocidos, con direcciones a lo largo de los respectivos hilos y con sentidos hacia los puntos de anclaje de los mismos:


\vec{\Phi}_{A}=|\Phi_{A}|[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{N}-\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{B}\,]\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}_{B}=|\Phi_{B}|[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{N}+\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{B}\,]=4\,|\vec{\Phi}_{A}|[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{N}+\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{B}\,]

Dado que el movimiento circular de P\, es uniforme (celeridad v\, constante), su aceleración sólo va a tener componente normal:


\left.\begin{array}{l} a_t=\displaystyle\frac{dv}{dt}=0 \\ \\ a_n=\displaystyle\frac{v^{\, 2}}{R}=|\,\vec{\omega}\,|^{\, 2}R
 \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{a}=a_t\,\vec{T}+a_n\,\vec{N}=|\,\vec{\omega}\,|^{\, 2}R\,\,\vec{N}

donde se ha utilizado la relación entre celeridad y módulo de la velocidad angular propia de un movimiento circular (v=|\,\vec{\omega}\,|R\,).

Aplicando la segunda ley de Newton, y proyectándola sobre las direcciones normal y binormal, se llega a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (|\vec{\Phi}_{A}|\, y |\,\vec{\omega}\,|\,):


m\vec{g}\,+\,\vec{\Phi}_{A}\,+\,\vec{\Phi}_{B}=m\vec{a}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{lll} |\vec{\Phi}_{A}|\,\mathrm{cos}(\theta)+4\,|\vec{\Phi}_{A}|\,\mathrm{cos}(\theta)=m|\,\vec{\omega}\,|^{\, 2}R & \,\,\,\longrightarrow\,\,\, & 5\,|\vec{\Phi}_{A}|\,\mathrm{cos}(\theta)=m|\,\vec{\omega}\,|^{\, 2}R \\ \\ -mg-|\vec{\Phi}_{A}|\,\mathrm{sen}(\theta)+4\,|\vec{\Phi}_{A}|\,\mathrm{sen}(\theta)=0 & \,\,\,\longrightarrow\,\,\, & -mg+3\,|\vec{\Phi}_{A}|\,\mathrm{sen}(\theta)=0 \end{array}\right.

Resolviendo el sistema, obtenemos los valores del módulo |\vec{\Phi}_{A}|\, de la fuerza ejercida por el hilo inferior y del módulo |\,\vec{\omega}\,|\, de la velocidad angular de la partícula:


|\vec{\Phi}_{A}|=\frac{mg}{3\,\mathrm{sen}(\theta)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
|\,\vec{\omega}\,|=\sqrt{\frac{5\,g\,\mathrm{cotg}(\theta)}{3\,R}}

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