No Boletín - Partícula en aro (Ex.Sep/15)

Enunciado

En el plano vertical Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,OXY\,} (gravedad: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{g}=-g\,\vec{\jmath}\,} ) se halla una partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} , de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,m\,} , ensartada sin rozamiento en un aro fijo de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,R\,} y centro en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} . Dicha partícula está conectada a una guía vertical fija (de ecuación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,x=-R\,} ) mediante un resorte elástico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,QP\,} de constante recuperadora Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,k=2mg/R\,} y longitud natural Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,l_0=R.\,} El extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,Q\,} se desplaza sobre la citada guía de tal modo que el resorte Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,QP\,} permanece en todo instante paralelo al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX.\,}

Se propone la coordenada acimutal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\theta\,} (definida en la figura) para describir la posición de la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,P\,} , así como la base polar $\,\{{\vec {u}}_{\rho },{\vec {u}}_{\theta }\}\,$ para expresar las magnitudes vectoriales.

1. Plantee la segunda ley de Newton para la partícula $P\,$ en la base polar y, separando componentes, obtenga: (a) La ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función $\,\theta (t).\,$ (b) La fuerza de reacción vincular $\,{\vec {\Phi }}(\theta ,{\dot {\theta }})\,$ que ejerce el aro sobre la partícula.
2. Deduzca razonadamente (mediante algún teorema de conservación) una integral primera del movimiento de la partícula $\,P\,$, exprésela como una función de $\,\theta \,$ y $\,{\dot {\theta }}\,$, y determine su valor constante para el supuesto de que la partícula se encuentre inicialmente en reposo en la posición $\,\theta =0.\,$
3. Halle todas las posiciones de equilibrio mecánico de la partícula $\,P\,$, y clasifíquelas según correspondan a equilibrio estable o inestable.

Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza de reacción vincular

Sobre la partícula $\,P\,$ actúan tres fuerzas: dos de naturaleza activa (su peso $\,m{\vec {g}}\,$ y la fuerza elástica $\,{\vec {F}}_{k}\,$ ejercida por el resorte) y una de reacción vincular (la fuerza $\,{\vec {\Phi }}\,$ ejercida por el aro). Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), ${\vec {\Phi }}\,$ es perpendicular al propio vínculo y, por tanto, tiene dirección radial. Las expresiones analíticas de las tres fuerzas en la base polar son las siguientes:

$\left\{{\begin{array}{l}m{\vec {g}}=-mg\,{\vec {\jmath }}=-mg\,[\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {u}}_{\rho }+\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {u}}_{\theta }\,]\\\\{\vec {F}}_{k}=-k\,\left(|\,{\overrightarrow {QP}}\,|-l_{0}\right)\,{\vec {\imath }}=-\displaystyle {\frac {2\,mg}{R}}\,[\,R+R\,\mathrm {cos} (\theta )-R\,]\,[\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {u}}_{\rho }-\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {u}}_{\theta }\,]=\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-2\,mg\,\mathrm {cos} (\theta )\,[\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {u}}_{\rho }-\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {u}}_{\theta }\,]\\\\{\vec {\Phi }}=\Phi \,{\vec {u}}_{\rho }\end{array}}\right.$

La aceleración de la partícula expresada en la base polar viene dada en general por:   $\,{\vec {a}}=({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\theta }}^{\,2})\,{\vec {u}}_{\rho }+(2\,{\dot {\rho }}\,{\dot {\theta }}+\rho \,{\ddot {\theta }}\,)\,{\vec {u}}_{\theta }$

pero al particularizar para la trayectoria:    $\,\,\rho =R\,\,\mathrm {(cte)} \,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\dot {\rho }}=0\,\,\mathrm {(cte)} \,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\ddot {\rho }}=0\,$,   queda:   ${\vec {a}}=-\,R\,{\dot {\theta }}^{\,2}\,{\vec {u}}_{\rho }+R\,{\ddot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }$

Planteamos la segunda ley de Newton:   $m{\vec {g}}+{\vec {F}}_{k}+{\vec {\Phi }}=m\,{\vec {a}}$   y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:

$\left\{{\begin{array}{l}-mg\,\mathrm {sen} (\theta )-2\,mg\,\mathrm {cos} ^{2}(\theta )+\Phi =-\,m\,R\,{\dot {\theta }}^{\,2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\\\-mg\,\mathrm {cos} (\theta )+2\,mg\,\mathrm {sen} (\theta )\,\mathrm {cos} (\theta )=m\,R\,{\ddot {\theta }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array}}\right.$

La ecuación (2) nos permite obtener la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función $\,\theta (t)$:

$\mathrm {(2)} \,\,\,\longrightarrow \,\,\,R\,{\ddot {\theta }}+g\,\mathrm {cos} (\theta )\,[\,1-2\,\mathrm {sen} (\theta )\,]=0$

La fuerza de reacción vincular que ejerce el aro sobre la partícula se obtiene despejando $\Phi \,$ en la ecuación (1) y sustituyendo en la expresión vectorial de $\,{\vec {\Phi }}\,$:

$\mathrm {(1)} \,\,\,\longrightarrow \,\,\,\Phi =mg\,[\,\mathrm {sen} (\theta )\,+\,2\,\mathrm {cos} ^{2}(\theta )\,]-\,mR\,{\dot {\theta }}^{\,2}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\vec {\Phi }}=\left\{mg\,[\,\mathrm {sen} (\theta )\,+\,2\,\mathrm {cos} ^{2}(\theta )\,]-mR\,{\dot {\theta }}^{\,2}\right\}\,{\vec {u}}_{\rho }$

Integral primera del movimiento: deducción, expresión y evaluación

La fuerza de reacción vincular ${\vec {\Phi }}\,$ no trabaja sobre la partícula por ser siempre perpendicular a su desplazamiento (vínculo liso y fijo). Así que todas las fuerzas que trabajan sobre la partícula (peso y elástica) son conservativas, y por tanto se conserva constante en el tiempo su energía mecánica $E\,$ (suma de su energía cinética $K\,$ y su energía potencial $U\,$). Dicho de otro modo, el teorema de conservación de la energía mecánica nos ha permitido deducir la integral primera del movimiento de la partícula que se nos pedía: $E\,$ es una integral primera.

Abordemos ahora la tarea de expresar la energía mecánica como una función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\theta\,} y $\,{\dot {\theta }}$.

La velocidad de la partícula expresada en la base polar viene dada en general por:  

${\vec {v}}={\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }$

pero al particularizar para la trayectoria:    $\,\,\rho =R\,\,\mathrm {(cte)} \,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\dot {\rho }}=0\,$,   queda:   ${\vec {v}}=R\,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }$

Así que la energía cinética de la partícula vale:

$K={\frac {1}{2}}\,m\,v^{\,2}={\frac {1}{2}}mR^{2}{\dot {\theta }}^{\,2}$

Por otra parte, la energía potencial de la partícula es la suma de sus energías potenciales gravitatoria $U_{g}\,$ y elástica $U_{k}\,$:

$U=U_{g}+\,U_{k}=mgy\,+{\frac {1}{2}}k\left(|\,{\overrightarrow {QP}}\,|-l_{0}\right)^{\,2}=mgR\,\mathrm {sen} (\theta )\,+\,{\frac {1}{2}}\,{\frac {2mg}{R}}\,[\,R\,+\,R\,\mathrm {cos} (\theta )\,-R\,]^{\,2}=$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\,\,\,=mgR\,[\,\mathrm{sen}(\theta)\,+\,\mathrm{cos}^{\, 2}(\theta)\,] }

Obsérvese que las expresiones propuestas para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_g\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_k\,} corresponden a tomar sus respectivos orígenes en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,y=0\,\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,|\,\overrightarrow{QP}\,|=l_0.\,}

La suma de energía cinética y energía potencial nos da como resultado la energía mecánica de la partícula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E(\theta,\dot{\theta})=K+U=\frac{1}{2}\,mR^2\dot{\theta}^{\, 2}+mgR\,[\,\mathrm{sen}(\theta)+\mathrm{cos}^{\, 2}(\theta)\,]=\mathrm{cte} }

El valor constante de esta integral primera se determina evaluando su expresión para las condiciones iniciales dadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\theta(0)=0\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\dot{\theta}(0)=0\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E(0,0)=mgR \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}\,mR^2\dot{\theta}^{\, 2}+mgR\,[\,\mathrm{sen}(\theta)+\mathrm{cos}^{\, 2}(\theta)\,]=mgR }

Nótese que, desde un punto de vista matemático, la integral primera que acabamos de obtener nos proporciona una ecuación diferencial de primer orden que debe ser satisfecha por la función Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\theta(t)} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\,\dot{\theta}^{\, 2}+2\,g\,[\,\mathrm{sen}(\theta)+\mathrm{cos}^{\, 2}(\theta)-1\,]=0 }

Puede comprobarse que, derivando respecto al tiempo esta ecuación diferencial de primer orden (y simplificando), se llega a la ecuación diferencial de segundo orden que se obtuvo a partir de la segunda ley de Newton en el apartado anterior.

Posiciones de equilibrio mecánico y su clasificación

Si exigimos la condición de equilibrio:   Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{g}+\vec{F}_k+\vec{\Phi}=\vec{0}}    y la proyectamos sobre la dirección acimutal, obtenemos la ecuación escalar que deben satisfacer las posiciones de equilibrio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\theta^{\,\mathrm{eq}}\,} de la partícula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -mg\,\mathrm{cos}(\theta^{\,\mathrm{eq}})\,[\,1-2\,\mathrm{sen}(\theta^{\,\mathrm{eq}})\,]=0\,\,\,\Rightarrow\,\,\, \left\{\begin{array}{lll} \mathrm{cos}\,(\theta^{\,\mathrm{eq}})=0 & \,\Rightarrow\, & \theta_1^{\,\mathrm{eq}}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\,\,\mathrm{rad}\,\,;\,\,\,\,\,\theta_2^{\,\mathrm{eq}}=\displaystyle\frac{3\pi}{2}\,\,\mathrm{rad} \\ \\ 1-2\,\mathrm{sen}(\theta^{\,\mathrm{eq}})=0 & \,\Rightarrow\, & \theta_3^{\,\mathrm{eq}}=\displaystyle\frac{\pi}{6}\,\,\mathrm{rad}\,\,;\,\,\,\,\,\theta_4^{\,\mathrm{eq}}=\displaystyle\frac{5\pi}{6}\,\,\mathrm{rad} \end{array}\right. }

Para clasificar las posiciones de equilibrio según correspondan a equilibrio estable o inestable, necesitamos primero recuperar la expresión anteriormente obtenida de la energía potencial de la partícula en función de su posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\theta\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U(\theta)=mgR\,[\,\mathrm{sen}(\theta)\,+\,\mathrm{cos}^{\, 2}(\theta)\,] }

Las posiciones de equilibrio de la partícula podrían haberse obtenido de forma alternativa calculando los extremos (máximos o mínimos) de la función energía potencial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,U(\theta)\,} . Para ello, se igualaría a cero la primera derivada de la función respecto a su variable:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}\theta}\right|_{\theta\,=\,\theta^{\,\mathrm{eq}}}=mgR\,\mathrm{cos}(\theta^{\,\mathrm{eq}})\,[\,1-2\,\mathrm{sen}(\theta^{\,\mathrm{eq}})\,]=0 }

Pero ya hemos determinado previamente las cuatro soluciones de esta ecuación de equilibrio. Una posición de equilibrio será estable cuando el extremo que la función Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,U(\theta)\,} tenga en dicha posición sea un mínimo, y sin embargo será inestable cuando el extremo correspondiente sea un máximo.

Necesitamos, pues, determinar la segunda derivada de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,U(\theta)\,} respecto a su variable:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}\theta^{\, 2}}=-mgR\,[\,\mathrm{sen}(\theta)+2\,\mathrm{cos}^{\, 2}(\theta)-2\,\mathrm{sen}^{\, 2}(\theta)\,] }

y evaluarla en las posiciones de equilibrio :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}\theta^{\, 2}}\right|_{\theta\,=\,\pi/2}=-mgR\left[\,\mathrm{sen}\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)+2\,\mathrm{cos}^{\, 2}\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)-2\,\mathrm{sen}^{\, 2}\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\,\right]=mgR>0 \\ \\ \left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}\theta^{\, 2}}\right|_{\theta\,=\,3\pi/2}=-mgR\left[\,\mathrm{sen}\!\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right)+2\,\mathrm{cos}^{\, 2}\!\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right)-2\,\mathrm{sen}^{\, 2}\!\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right)\,\right]=3\,mgR>0 \\ \\ \left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}\theta^{\, 2}}\right|_{\theta\,=\,\pi/6}=-mgR\left[\,\mathrm{sen}\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+2\,\mathrm{cos}^{\, 2}\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)-2\,\mathrm{sen}^{\, 2}\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\,\right]=-\,\displaystyle\frac{3}{2}\,mgR<0 \\ \\ \left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}\theta^{\, 2}}\right|_{\theta\,=\,5\pi/6}=-mgR\left[\,\mathrm{sen}\!\left(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right)+2\,\mathrm{cos}^{\, 2}\!\left(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right)-2\,\mathrm{sen}^{\, 2}\!\left(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right)\,\right]=-\,\displaystyle\frac{3}{2}\,mgR<0 \end{array} }

Aquellas posiciones de equilibrio en las que la derivada segunda tiene signo positivo corresponden a mínimos de energía potencial y, por tanto, son posiciones de equilibrio estable. Por el contrario, aquellas otras posiciones de equilibrio en las que la derivada segunda tiene signo negativo corresponden a máximos de energía potencial y, por tanto, son posiciones de equilibrio inestable.

Así que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\,\,\begin{array}{l} \theta_1^{\,\mathrm{eq}}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\,\mathrm{rad}\,\,\,\,\,\mathrm{es}\,\,\,\mathrm{ESTABLE} \\ \\ \theta_2^{\,\mathrm{eq}}=\displaystyle\frac{3\pi}{2}\,\mathrm{rad}\,\,\,\,\,\mathrm{es}\,\,\,\mathrm{ESTABLE} \\ \\ \theta_3^{\,\mathrm{eq}}=\displaystyle\frac{\pi}{6}\,\mathrm{rad}\,\,\,\,\,\mathrm{es}\,\,\,\mathrm{INESTABLE} \\ \\ \theta_4^{\,\mathrm{eq}}=\displaystyle\frac{5\pi}{6}\,\mathrm{rad}\,\,\,\,\,\mathrm{es}\,\,\,\mathrm{INESTABLE} \end{array} }