Oscilador armónico en el plano

Enunciado

Una partícula de masa $m$ se encuentra sujeta a un resorte de constante $k$ y longitud natural nula, el cual ejerce una fuerza

${\vec {F}}=-k{\vec {r}}$

La posición inicial de la masa y su velocidad inicial son:

${\vec {r}}_{0}=x_{0}{\vec {\imath }}$    ${\vec {v}}_{0}=v_{0}{\vec {\jmath }}$

1. Exprese el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas $O$ y la energía mecánica de la partícula en función de $x$, $y$, $z$ y sus derivadas temporales, ${\dot {x}}$, ${\dot {y}}$ y ${\dot {z}}$.
2. Demuestre que las dos magnitudes anteriores son integrales primeras y evalúelas en función de las condiciones iniciales.
3. Demuestre que el movimiento de esta partícula se restringe al plano OXY y que su velocidad areolar respecto al punto $O$ es constante.

Momento cinético y energía

Momento cinético

Obtenemos el momento cinético multiplicando el vector de posición por la cantidad de movimiento. Separando en coordenadas cartesianas

${\vec {L}}=m{\vec {r}}\times {\vec {v}}=m\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\x&y&z\\{\dot {x}}&{\dot {y}}&{\dot {z}}\end{matrix}}\right|=m(y{\dot {z}}-z{\dot {y}}){\vec {\imath }}+m(z{\dot {x}}-x{\dot {z}}){\vec {\jmath }}+(x{\dot {y}}-y{\dot {x}}){\vec {k}}$

Energía mecánica

La energía mecánica es suma de la cinética

$K={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})$

y la potencial

$U={\frac {1}{2}}kr^{2}={\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

Resultando la energía

$E=K+U={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}kr^{2}={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})+{\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

Integrales primeras

Momento cinético

La constancia del momento cinético es una consecuencia inmediata de que la fuerza producida por un oscilador armónico sea una fuerza central.

${\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}_{O}}{\mathrm {d} t}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}=-k{\vec {r}}\times {\vec {r}}={\vec {0}}$

Podemos llegar a este resultado componente a componente a partir de la expresión obtenida en el primer apartado. Así, para la componente z del momento cinético

${\frac {\mathrm {d} L_{z}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left(m(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})\right)=m\left({\dot {x}}{\dot {y}}+x{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\dot {x}}-y{\ddot {x}}\right)=x(m{\ddot {y}})-y(m{\ddot {x}})$

Sustituyendo aquí la ley de Hooke

$m{\ddot {x}}=-kx$    $m{\ddot {y}}=-ky$

queda

${\frac {\mathrm {d} L_{z}}{\mathrm {d} t}}=-kxy+kxy=0$

El valor del momento cinético lo obtenemos sustituyendo las condiciones iniciales

${\vec {L}}=m{\vec {r}}_{0}\times {\vec {v}}_{0}=mx_{0}v_{0}{\vec {k}}$

y, separando en sus componentes cartesianas

$L_{x}=m(y{\dot {z}}-z{\dot {y}})=0$    $L_{y}=m(z{\dot {x}}-x{\dot {z}})=0$    $L_{z}=m(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})=mx_{0}v_{0}$

Energía mecánica

La constancia de la energía mecánica es una consecuencia inmediata de que la fuerza producida por un oscilador armónico sea una fuerza conservativa:

${\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}-{\frac {\delta W}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}-P=0$

También podemos comprobar que la energía mecánica es una integral primera derivando respecto al tiempo la expresión de ella que obtuvimos en el primer apartado:

${\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}={\frac {m}{2}}(2{\dot {x}}{\ddot {x}}+2{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}})+{\frac {k}{2}}(2x{\dot {x}}+2y{\dot {y}}+2z{\dot {z}})$

Agrupando términos y aplicando de nuevo la ley de Hooke

${\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}={\dot {x}}(m{\ddot {x}}+kx)+{\dot {y}}(m{\ddot {y}}+ky)+{\dot {z}}(m{\ddot {z}}+kz)=0$

Por tanto, la energía mecánica es una constante de movimiento. Su valor lo obtenemos igualándola a su valor inicial

$E={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})+{\frac {k}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})={\frac {mv_{0}^{2}}{2}}+{\frac {kx_{0}^{2}}{2}}$

Movimiento plano

Al ser constante el momento cinético, la trayectoria es plana, siendo el plano de la órbita uno ortogonal al vector ${\vec {L}}$. Este plano es el definido por el vector de posición inicial (medido desde el centro de fuerzas) y la velocidad inicial.

En este caso tenemos que

${\vec {r}}_{0}=x_{0}{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {v}}_{0}=v_{0}{\vec {\jmath }}$

El plano definido por estos dos vectores y el centro de fuerzas es el plano OXY, por lo que la trayectoria se limita a este plano.

La velocidad areolar con la que se barre la órbita es proporcional al momento cinético y por tanto constante.

${\vec {V}}_{A}={\frac {1}{2}}{\vec {r}}\times {\vec {v}}={\frac {1}{2m}}{\vec {L}}={\frac {1}{2}}x_{0}v_{0}{\vec {k}}$

En el caso del oscilador armónico las órbitas se pueden determinar analíticamente y resultan elipses de ecuaciones paramétricas

$x=x_{0}\cos(\omega t)\qquad y={\frac {v_{0}}{\omega }}\mathrm {sen} (\omega t)\qquad z=0\qquad \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

Estas elipses tienen al origen de coordenadas como centro. Al ser constante la velocidad areolar, la partícula barre áreas iguales en tiempos iguales.