No Boletín - Fuerza neta sobre un vehículo en una curva (Ex.Sep/15)

Enunciado

Un vehículo (masa $m\,$) está saliendo de una curva, y su celeridad ($v=|{\vec {v}}\,|\,$) está aumentando. ¿Cuál de los siguientes diagramas representa correctamente la dirección y el sentido de la fuerza neta (${\vec {F}}\,$) que actúa sobre dicho vehículo?

Solución

Modelando el vehículo como una partícula de masa inercial constante $\,m,\,$ podemos asegurar que la fuerza neta $\,{\vec {F}}\,$ que actúa sobre el mismo es un vector con la misma dirección y el mismo sentido que su vector aceleración $\,{\vec {a}},\,$ ya que la segunda ley de Newton establece que:

${\vec {F}}=m\,{\vec {a}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(con} \,\,\,m>0\mathrm {)}$

Pero el hecho de que $\,{\vec {F}}\,$ y $\,{\vec {a}}\,$ compartan la misma dirección y el mismo sentido reduce este ejercicio a una cuestión puramente cinemática: ¿qué sabemos sobre la orientación del vector $\,{\vec {a}}\,$ de un vehículo que describe una trayectoria curva y cuya celeridad está creciendo?

Pues bien, sabemos que la aceleración tangencial ($\,a_{t}\,$) y la aceleración normal ($\,a_{n}\,$) de tal vehículo son ambas estrictamente positivas:

$\left\{{\begin{array}{ll}a_{t}>0&\,\,\,\mathrm {(porque} \,\,a_{t}={\dot {v}}\,\,\mathrm {y} \,\,\mathrm {la} \,\,\mathrm {celeridad} \,\,v\,\,\mathrm {crece)} \\\\a_{n}>0&\,\,\,\mathrm {(porque} \,\,a_{n}=v^{2}/R_{\kappa }\,\mathrm {,} \,\,v\neq 0\,\,\,\mathrm {y} \,\,R_{\kappa }\neq \infty \,\mathrm {)} \end{array}}\right.$

Para que el conocimiento de los signos de $\,a_{t}\,$ y $\,a_{n}\,$ permita predecir la orientación correcta del vector $\,{\vec {a}}\,$, es necesario determinar antes el vector tangente unitario $\,{\vec {T}}\,$ y el vector normal principal $\,{\vec {N}}\,$. En los diagramas propuestos, obtenemos $\,{\vec {T}}\,$ normalizando el vector velocidad $\,{\vec {v}}\,$ del vehículo, y $\,{\vec {N}}\,$ trazando el unitario que apunta desde el vehículo hacia el centro de curvatura (representado por una pequeña aspa):

Que las componentes tangencial y normal de la aceleración del vehículo sean ambas estrictamente positivas ($a_{t}>0\,$ y $a_{n}>0\,$) requiere que el vector aceleración $\,{\vec {a}}\,$ forme simultáneamente ángulos agudos con el vector tangente unitario $\,{\vec {T}}\,$ y con el vector normal principal $\,{\vec {N}}.\,$

Analizando con este criterio los cuatro casos propuestos, llegamos a la conclusión de que el diagrama (1) es el correcto:

Diagrama	Ángulo entre $\,{\vec {a}}\,$ y $\,{\vec {T}}$	Ángulo entre $\,{\vec {a}}\,$ y $\,{\vec {N}}$
(1)	agudo ($a_{t}>0$)	agudo ($a_{n}>0$)	Correcto
(2)	obtuso ($a_{t}<0$)	agudo ($a_{n}>0$)	Incorrecto
(3)	agudo ($a_{t}>0$)	obtuso ($a_{n}<0$)	Incorrecto
(4)	nulo ($a_{t}>0$)	recto ($a_{n}=0$)	Incorrecto