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No Boletín - Cuestión sobre curva de potencial VI (Ex.Ene/16)

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula material se mueve en el eje \,OX\, bajo la única acción de una fuerza conservativa. En la gráfica adjunta se representan la energía mecánica E\, y la energía potencial U(x)\, de la partícula para cierta región de interés.

Aun desconociendo su posición inicial, se puede asegurar con certeza que esta partícula ...

(1) ... tiene accesibles tres posiciones de equilibrio (A, B y D).

(2) ... es imposible que alcance ninguna posición a la derecha de C.

(3) ... estará en reposo instantáneo si alcanza la posición F.

(4) ... estará en equilibrio si alcanza la posición C.

Nota: Sólo es correcta una de las cuatro opciones.

2 Puntos de retorno, región prohibida y regiones permitidas. Descartando (2) y eligiendo (3)

Los puntos de retorno corresponden a los valores de \,x\, para los cuales se produce intersección entre la curva de energía potencial \,U(x)\, y la recta horizontal representativa de la energía mecánica constante E\,. Observamos en la gráfica que existen dos puntos de retorno: C y F.

Se denominan "de retorno" porque, si la partícula llega a uno de estos puntos, sufrirá allí la anulación instantánea de su celeridad y la inversión del sentido de su movimiento. Esta inversión del sentido de movimiento se debe a que cada punto de retorno es la frontera entre una región permitida y una región prohibida.

En efecto, la energía cinética de una partícula es, por definición, mayor o igual que cero (no negativa) y, por tanto, la partícula tiene prohibido su acceso a aquellas regiones del eje \,OX\, para las cuales la curva de energía potencial \,U(x)\, está por encima de la recta horizontal de energía mecánica E\,.

En el caso que nos ocupa, detectamos una única región prohibida, que es la comprendida entre los puntos C y F:


x_{\mathrm{C}}<x<x_{\mathrm{F}} 
\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\frac{1}{2}m\dot{x}^{\, 2}=K=E-\,U(x)<0\,\,\,\,\mathrm{(imposible)}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{region}\,\,\mathrm{prohibida}

y dos regiones permitidas, que son la región a la izquierda de C y la región a la derecha de F:


\left.\begin{array}{l}  x\le x_{\mathrm{C}} \\ \\ x_{\mathrm{F}}\le x \end{array}\right\}
\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\frac{1}{2}m\dot{x}^{\, 2}=K=E-\,U(x)\ge 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{regiones}\,\,\mathrm{permitidas}

Nótese que, al ser las dos regiones permitidas no conexas entre sí (están separadas por la región prohibida), el movimiento de la partícula transcurrirá de facto sólo en una de las dos regiones permitidas. Pero ¿en cuál de las dos? Pues en aquella región en la que se halle la partícula inicialmente. Ahora bien, dado que en el presente ejercicio desconocemos las condiciones iniciales, nos quedaremos sin saber en cuál de las dos regiones permitidas se mueve la partícula.

Precisamente por esto, es FALSA la afirmación (2): "Aun desconociendo su posición inicial, se puede asegurar con certeza que esta partícula es imposible que alcance ninguna posición a la derecha de C". Es cierto que, si la posición inicial x_0\, cumple la condición x_0\le x_{\mathrm{C}}\,, entonces la partícula se mueve para siempre en la región a la izquierda de C y es imposible que alcance ninguna posición a la derecha de C. Aun así, la afirmación (2) es falsa, ya que desconocemos x_0\, y, por tanto, no tenemos certeza de que la partícula se halle en la región a la izquierda de C. Podría ocurrir que la partícula esté en la otra región permitida (si x_{\mathrm{F}}\le x_0\,), y en tal caso se mueve para siempre en posiciones a la derecha de F y, por tanto, a la derecha de C.

La CORRECTA es la afirmación (3): "Aun desconociendo su posición inicial, se puede asegurar con certeza que esta partícula estará en reposo instantáneo si alcanza la posición F". En efecto, tal como vimos antes, F es un punto de retorno, y por eso la partícula sufrirá la anulación instantánea de su celeridad (reposo instantáneo) si alcanza dicha posición.

3 Posiciones de equilibrio. Descartando (1) y (4)

Dice la afirmación (1): "Aun desconociendo su posición inicial, se puede asegurar con certeza que esta partícula tiene accesibles tres posiciones de equilibrio (A, B y D)". Vamos a comprobar que es FALSA.

En el movimiento unidimensional conservativo de una partícula, las posiciones de equilibrio se corresponden con los extremos locales de la función energía potencial (máximos \,\rightarrow\, equilibrio inestable; mínimos \,\rightarrow\, equilibrio estable). En el caso que nos ocupa, observamos que la curva U(x)\, tiene dos máximos (en A y en D) y un mínimo (en B). Hay, por tanto, tres posiciones de equilibrio (A, B y D). Sin embargo, la afirmación (1) es falsa porque, teniendo el nivel de energía mecánica E\, representado en la gráfica, resulta imposible que la partícula pase por las tres posiciones de equilibrio. Para este nivel de energía mecánica, la posición de equilibrio D es inaccesible (queda dentro de la región prohibida), y las posiciones de equilibrio A y B sólo son accesibles si la partícula se halla en la región permitida a la izquierda de C. En resumen, puede que la partícula pase por dos posiciones de equilibrio o puede que no pase por ninguna (depende de las condiciones iniciales), pero NO tiene accesibles las tres posiciones de equilibrio (A, B y D) en ningún caso.

Por último, dice la afirmación (4): "Aun desconociendo su posición inicial, se puede asegurar con certeza que esta partícula estará en equilibrio si alcanza la posición C". Esta afirmación también es FALSA, dado que ya hemos visto que la posición C no es una posición de equilibrio.

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