Partícula motorizada en aro (Ex.Ene/13)

Enunciado

Una partícula $P\,$, de masa $m\,$, está ensartada sin rozamiento en un aro fijo de radio $R\,$, el cual se halla situado en el plano horizontal $OXY\,$ y tiene su centro en el origen de coordenadas $O\,$. Un motor ejerce una fuerza tangencial sobre la partícula, y como resultado ésta se mueve en sentido antihorario con una velocidad angular (escalar) que es función de la posición:

$\omega ={\sqrt {K\theta }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\theta \geq 0)$

donde $K\,$ es una constante positiva conocida, y el ángulo $\theta \,$ (definido en la figura) es el parámetro utilizado para describir la posición de la partícula sobre el aro.

1. Determine la aceleración angular en función de la posición. ¿Qué tipo de movimiento circular realiza la partícula?
2. Halle las componentes intrínsecas de la aceleración lineal en función de la posición.
3. Calcule el trabajo que realiza el motor sobre la partícula al moverse ésta desde $\theta =0\,$ hasta $\theta =(\pi /2)\,\mathrm {rad} \,$.
4. Determine la fuerza de reacción vincular ejercida por el aro sobre la partícula para la posición $\theta =(\pi /4)\,\mathrm {rad} \,$.

Aceleración angular y tipo de movimiento circular

Hallamos la aceleración angular (escalar) como la derivada respecto al tiempo de la velocidad angular (escalar):

$\alpha ={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d\omega }{d\theta }}{\frac {d\theta }{dt}}={\frac {d\omega }{d\theta }}\,\omega ={\frac {K}{2{\sqrt {K\theta }}}}{\sqrt {K\theta }}={\frac {K}{2}}$

Se observa, por tanto, que la aceleración angular (escalar) de la partícula es constante a lo largo del tiempo (no depende de su posición). Así pues, la partícula realiza un movimiento circular uniformemente acelerado.

Para expresar la aceleración angular en forma vectorial, tendremos en cuenta que en un movimiento circular los vectores velocidad angular y aceleración angular son paralelos entre sí y perpendiculares al plano de giro. Además, como se nos indica en el enunciado que la partícula se mueve en sentido antihorario, sabemos que el vector velocidad angular apunta en el sentido positivo del eje $OZ\,$, es decir: ${\vec {\omega }}=\omega \,{\vec {k}}={\sqrt {K\theta }}\,{\vec {k}}\,$. Y entonces la aceleración angular:

${\vec {\alpha }}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}={\frac {d\omega }{dt}}\,{\vec {k}}=\alpha \,{\vec {k}}={\frac {K}{2}}\,{\vec {k}}$

Componentes intrínsecas de la aceleración

Tratándose de un movimiento circular (estudiado de forma específica en el tema), podemos aplicar directamente las expresiones deducidas en la teoría para las componentes intrínsecas de la aceleración en este tipo de movimiento:

$a_{t}=R\,\alpha ={\frac {RK}{2}}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{n}=R\,\omega ^{2}=RK\theta$

Observamos que la aceleración tangencial es constante (movimiento uniformemente acelerado), mientras que la aceleración normal sí que depende de la posición (crece linealmente con $\theta \,$).

Trabajo realizado por el motor sobre la partícula

Sobre la partícula actúan dos fuerzas: la que ejerce el motor (${\vec {F}}_{\mathrm {mot} }\,$) y la de reacción vincular (${\vec {\Phi }}\,$) ejercida por el aro. Pero sólo realiza trabajo sobre la partícula la fuerza motora ${\vec {F}}_{\mathrm {mot} }\,$ (que es tangencial, según se nos indica en el enunciado). La fuerza de reacción vincular ${\vec {\Phi }}\,$ no trabaja porque, al ser el aro un vínculo liso (sin rozamiento) y esclerónomo (fijo), sabemos que ${\vec {\Phi }}\,$ es perpendicular en todo instante al desplazamiento de la partícula.

En consecuencia, calcular el trabajo que realiza el motor sobre la partícula al moverse ésta desde $\theta =0\,$ hasta $\theta =(\pi /2)\,\,\mathrm {rad} \,$ es equivalente a calcular el trabajo total desarrollado sobre la partícula en ese fragmento de trayectoria. Podemos, pues, aplicar el teorema de la energía o teorema de las fuerzas vivas, que nos dice que el trabajo total desarrollado sobre la partícula es igual a la variación que experimenta su energía cinética:

$\left.W_{\mathrm {mot} }\right|_{\theta =0\,\rightarrow \,\pi /2}=\left.W\right|_{\theta =0\,\rightarrow \,\pi /2}=\left.{\frac {1}{2}}mv^{2}\right|_{\theta =0}^{\theta =\pi /2}=\left.{\frac {1}{2}}mR^{2}\omega ^{2}\right|_{\theta =0}^{\theta =\pi /2}=\left.{\frac {1}{2}}mR^{2}K\theta \right|_{\theta =0}^{\theta =\pi /2}={\frac {\pi mKR^{2}}{4}}$

Un procedimiento alternativo para el cálculo de este trabajo consiste en determinar primero la potencia mecánica desarrollada sobre la partícula:

$P_{W}={\frac {dW}{dt}}={\vec {F}}_{\mathrm {mot} }\cdot {\vec {v}}=ma_{t}{\vec {T}}\cdot R\omega \,{\vec {T}}=ma_{t}R\omega$

de aquí, despejar el trabajo infinitesimal:

$dW=ma_{t}R\,\omega dt=ma_{t}R\,d\theta ={\frac {1}{2}}mKR^{2}d\theta$

y, por último, integrar entre $\theta =0\,$ y $\theta =\pi /2\,\,\mathrm {rad} \,$

$\left.W\right|_{\theta =0\,\rightarrow \,\pi /2}={\frac {1}{2}}mKR^{2}\int _{0}^{\pi /2}d\theta ={\frac {\pi mKR^{2}}{4}}$

Fuerza de reacción vincular

Conforme a la segunda ley de Newton, la suma de las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a su masa por su aceleración:

${\vec {F}}_{\mathrm {mot} }+{\vec {\Phi }}=m{\vec {a}}=ma_{t}\,{\vec {T}}+ma_{n}\,{\vec {N}}$

Pero sabemos que ${\vec {F}}_{\mathrm {mot} }\,$ es tangencial, mientras que ${\vec {\Phi }}\,$ es normal. Así que podemos separar fácilmente la parte normal de la anterior ecuación:

${\vec {\Phi }}=ma_{n}\,{\vec {N}}=mRK\theta \,{\vec {N}}=-mRK\theta \,[\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}+\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}\,\,]$

Y evaluando (según se nos pide en el enunciado) para la posición $\theta =(\pi /4)\,\mathrm {rad} \,$, se obtiene la siguiente f.r.v.:

${\vec {\Phi }}(\pi /4)=-{\frac {\pi mKR}{4}}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\,{\vec {\imath }}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\,{\vec {\jmath }}\right)$